Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11Kelas 9Kelas 10mathGeometri Ruang

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Di dalam

Pertanyaan

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 2. Bidang PBC membagi kubus menjadi dua bagian. Berapakah perbandingan volume kedua bagian tersebut?

Solusi

Verified

Bidang PBC membagi kubus menjadi dua bagian dengan perbandingan volume 1:2.

Pembahasan

Soal ini meminta perbandingan volume dua bagian kubus yang dipotong oleh bidang tertentu. Diketahui: 1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 6. 2. Terdapat limas segiempat beraturan P.ABCD di dalam kubus. 3. Tinggi limas P.ABCD = 2. 4. Bidang PBC membagi kubus. Langkah 1: Hitung volume kubus. Volume Kubus = sisi^3 = 6^3 = 216 satuan kubik. Langkah 2: Hitung volume limas P.ABCD. Alas limas adalah persegi ABCD dengan sisi 6. Luas Alas (L) = sisi^2 = 6^2 = 36. Tinggi limas (t) = 2. Volume Limas = (1/3) * Luas Alas * Tinggi Volume Limas P.ABCD = (1/3) * 36 * 2 = 12 * 2 = 24 satuan kubik. Langkah 3: Analisis pemotongan oleh bidang PBC. Bidang PBC memotong limas P.ABCD. Titik P berada di atas alas ABCD. Titik P ini membentuk limas P.ABCD. Bidang PBC adalah salah satu sisi tegak dari limas P.ABCD jika P berada tepat di tengah bidang EFGH. Namun, limas P.ABCD adalah limas segiempat beraturan, artinya P adalah puncak limas yang tegak lurus dengan pusat alas ABCD. Karena tinggi limas hanya 2 (lebih kecil dari rusuk kubus 6), P berada di dalam kubus. Bidang PBC akan memotong kubus. Untuk menentukan perbandingannya, kita perlu mengidentifikasi bagian mana saja yang terbentuk. Mari kita asumsikan P berada di atas pusat alas ABCD. Bidang PBC akan memotong kubus. Ini akan membentuk sebuah prisma segitiga atau bagian dari kubus. Namun, jika P.ABCD adalah limas yang puncaknya P berada di atas ABCD, maka bidang PBC adalah sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik P dan sisi BC dari alas. Kemungkinan interpretasi lain: Limas P.ABCD memiliki alas ABCD (salah satu alas kubus) dan puncak P. Bidang PBC adalah bidang yang melalui P, B, dan C. Untuk menghitung volume, kita perlu tahu posisi P. Jika P.ABCD adalah limas segiempat beraturan dengan tinggi 2, maka P berada 2 unit di atas pusat alas ABCD. Titik P memiliki koordinat (3, 3, 6) jika ABCD di z=6 dan EFGH di z=0, atau P=(3,3,2) jika ABCD di z=0 dan EFGH di z=6. Kita perlu memotong kubus dengan bidang yang melalui P, B, dan C. B=(0,0,0), C=(6,0,0), jika kita letakkan A=(0,6,0), D=(6,6,0). Maka P = (3,3,2). Bidang PBC melalu P(3,3,2), B(0,0,0), C(6,0,0). Persamaan bidang yang melalui titik asal (0,0,0) dan dua vektor adalah $ax+by+cz=0$. Vektor $\vec{OB} = (0,0,0)$, $\vec{OC} = (6,0,0)$, $\vec{OP} = (3,3,2)$. Kita bisa gunakan vektor $\vec{BC} = (6,0,0)$ dan $\vec{BP} = (3,3,2)$. Normal bidang = $\vec{BC} \times \vec{BP} = (6,0,0) \times (3,3,2) = (0, -12, 18)$. Persamaan bidang: $0x - 12y + 18z = 0 \implies -2y + 3z = 0 \implies 3z = 2y$. Ini adalah bidang yang memotong kubus. Bidang ini melalui titik P(3,3,2), B(0,0,0), C(6,0,0). Bidang $3z = 2y$ membagi kubus. Kita perlu menghitung volume di bawah bidang ini dan di atas bidang ini dalam kubus. Volume di bawah bidang $3z = 2y$ (yaitu $z = \frac{2}{3}y$) dalam kubus $0 \le x \le 6, 0 \le y \le 6, 0 \le z \le 6$. Volume = $\int_0^6 \int_0^6 \int_0^{\frac{2}{3}y} dz dy dx$ = $\int_0^6 \int_0^6 [z]_0^{\frac{2}{3}y} dy dx$ = $\int_0^6 \int_0^6 \frac{2}{3}y dy dx$ = $\int_0^6 [\frac{1}{3}y^2]_0^6 dx$ = $\int_0^6 \frac{1}{3}(6^2) dx$ = $\int_0^6 \frac{36}{3} dx$ = $\int_0^6 12 dx$ = $[12x]_0^6 = 12(6) = 72$. Jadi, volume bagian pertama adalah 72. Volume total kubus = 216. Volume bagian kedua = Volume Kubus - Volume Bagian Pertama = 216 - 72 = 144. Perbandingan volume kedua bagian adalah 72 : 144, yang dapat disederhanakan menjadi 1 : 2. Perlu diperhatikan bahwa soal ini cukup kompleks dan bergantung pada interpretasi posisi P dan bidang PBC. Asumsi yang digunakan di atas adalah P berada di atas pusat alas ABCD. Jika P adalah puncak limas segiempat beraturan P.ABCD, maka alasnya adalah ABCD. Bidang PBC memotong kubus. Titik P berada 2 unit di atas pusat ABCD. Jika ABCD adalah alas bawah, maka P berada di ketinggian 2. Jika ABCD adalah alas atas, P berada di ketinggian 6-2=4. Mari kita gunakan koordinat standar: A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0) E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6) Limas P.ABCD memiliki alas ABCD (z=0). Puncak P berada 2 unit di atas pusat ABCD. Pusat ABCD adalah (3,3,0). Maka P = (3,3,2). Bidang PBC melalu P(3,3,2), B(6,0,0), C(6,6,0). Kita cari persamaan bidang ax+by+cz=d. Untuk B(6,0,0): 6a = d. Untuk C(6,6,0): 6a + 6b = d. Untuk P(3,3,2): 3a + 3b + 2c = d. Substitusi 6a=d ke persamaan kedua: d + 6b = d => 6b = 0 => b = 0. Substitusi b=0 ke persamaan ketiga: 3a + 2c = d. Karena 6a = d, maka a = d/6. Substitusi a ke 3a + 2c = d: 3(d/6) + 2c = d d/2 + 2c = d 2c = d - d/2 2c = d/2 c = d/4. Jadi, persamaan bidangnya adalah (d/6)x + 0y + (d/4)z = d. Bagi dengan d: x/6 + z/4 = 1. Kalikan dengan 12: 2x + 3z = 12. Bidang $2x + 3z = 12$ memotong kubus $0 \\\le x \\\\\le 6, 0 \\\ e Kembali ke interpretasi awal yang lebih sederhana dan umum untuk soal olimpiade: Jika P.ABCD adalah limas dengan alas ABCD dan tinggi 2, dan limas ini berada di dalam kubus bersisi 6. Bidang PBC memotong kubus. Asumsi yang mungkin adalah P berada di tengah bidang EFGH, sehingga P = (3,3,6) jika alas ABCD di z=0. Tapi ini tidak sesuai dengan tinggi limas 2. Asumsi yang paling masuk akal adalah P.ABCD adalah limas dengan alas ABCD (salah satu muka kubus), dan puncak P terletak 2 unit tegak lurus dari pusat alas tersebut. Jika ABCD adalah alas bawah (z=0), P=(3,3,2). Bidang PBC memotong kubus. Perhitungan volume di bawah bidang $2x + 3z = 12$ (atau $z = (12-2x)/3$) dalam kubus: Volume = $\int_0^6 \int_0^6 \int_0^{(12-2x)/3} dz dy dx$. Perhatikan batas atas z harus $\\le 6$. Jika $(12-2x)/3 > 6$, maka batasnya adalah 6. $12-2x > 18 => -2x > 6 => x < -3$. Ini tidak terjadi. Volume = $\int_0^6 \int_0^6 [z]_0^{(12-2x)/3} dy dx$ = $\int_0^6 \int_0^6 \frac{12-2x}{3} dy dx$ = $\int_0^6 [\frac{12-2x}{3} y]_0^6 dx$ = $\int_0^6 \frac{12-2x}{3} * 6 dx$ = $\int_0^6 (12-2x) * 2 dx$ = $\int_0^6 (24 - 4x) dx$ = $[24x - 2x^2]_0^6$ = $(24*6 - 2*6^2) - (0) = 144 - 2*36 = 144 - 72 = 72. Volume satu bagian adalah 72. Volume kubus 216. Volume bagian lain adalah 216 - 72 = 144. Perbandingan volumenya adalah 72 : 144 = 1 : 2. Jawaban ini konsisten dengan kedua cara perhitungan bidang jika posisi P berbeda tetapi tetap menghasilkan perbandingan yang sama.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limas, Kubus
Section: Volume Kubus, Volume Limas, Irisan Bidang Pada Kubus

Apakah jawaban ini membantu?