Dua kandang berdampingan masing-masing dengan ukuran

Agar panjang pagar minimal, x=4 m dan y=3 m.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan optimasi, yaitu mencari dimensi yang meminimalkan panjang pagar untuk luas tertentu.

Diketahui:
1. Dua kandang berdampingan.
2. Ukuran masing-masing kandang: panjang x m, lebar y m.
3. Luas masing-masing kandang = 12 m^2.
4. Total luas kedua kandang = 2 * 12 = 24 m^2.
5. Tujuannya adalah meminimalkan panjang pagar yang diperlukan.

Langkah 1: Tuliskan hubungan antara luas, panjang, dan lebar.
Luas satu kandang = panjang * lebar = x * y = 12.

Langkah 2: Gambarkan tata letak kandang dan tentukan panjang pagar.
Karena kedua kandang berdampingan, ada beberapa kemungkinan penataan. Pagar diperlukan untuk sisi luar total bangunan dan pembatas antar kandang.

Asumsi penataan: Dua kandang diletakkan berdampingan memanjang.

Kasus 1: Berdampingan di sisi panjang.
[ kandang 1 ] [ kandang 2 ]
<-- x --> <-- x -->
^           ^           ^
| y         | y         | y
v           v           v
<---------- x ---------->

Dalam kasus ini, lebar total adalah y, dan panjang total adalah 2x.
Keliling luar = 2 * (panjang total + lebar total) = 2 * (2x + y).
Pagar internal (pembatas antar kandang) = y.
Total pagar = Keliling luar + Pagar internal = 2(2x + y) + y = 4x + 2y + y = 4x + 3y.

Dari x * y = 12, kita punya y = 12/x.
Substitusikan y ke fungsi pagar P(x) = 4x + 3(12/x) = 4x + 36/x.
Untuk meminimalkan P(x), kita cari turunan P'(x) dan setel sama dengan 0.
P'(x) = 4 - 36/x^2.
Setel P'(x) = 0:
4 - 36/x^2 = 0
4 = 36/x^2
x^2 = 36/4
x^2 = 9
x = 3 (karena panjang harus positif).
Jika x = 3, maka y = 12/3 = 4.
Dalam kasus ini, panjang x=3 m dan lebar y=4 m.
Total pagar = 4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24 m.

Kasus 2: Berdampingan di sisi lebar.
[ kandang 1 ]
<---- x ---->
^ y         ^
|           |
v y         v
[ kandang 2 ]
<---- x ---->
^ y         ^
|           |
v y         v

Dalam kasus ini, panjang total adalah x, dan lebar total adalah 2y.
Pagar internal (pembatas antar kandang) = x.
Total pagar = Keliling luar + Pagar internal = 2 * (panjang total + lebar total) + x = 2 * (x + 2y) + x = 2x + 4y + x = 3x + 4y.

Dari x * y = 12, kita punya y = 12/x.
Substitusikan y ke fungsi pagar P(x) = 3x + 4(12/x) = 3x + 48/x.
Cari turunan P'(x) dan setel sama dengan 0.
P'(x) = 3 - 48/x^2.
Setel P'(x) = 0:
3 - 48/x^2 = 0
3 = 48/x^2
x^2 = 48/3
x^2 = 16
x = 4 (karena panjang harus positif).
Jika x = 4, maka y = 12/4 = 3.
Dalam kasus ini, panjang x=4 m dan lebar y=3 m.
Total pagar = 3(4) + 4(3) = 12 + 12 = 24 m.

Kedua kasus memberikan hasil total pagar yang sama (24 m) tetapi dengan dimensi x dan y yang berbeda.

Pertanyaannya adalah "Agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin, maka panjang x dan y berturut-turut .... x y". Ini menyiratkan bahwa ada satu pasangan (x, y) yang optimal.

Mari kita periksa kembali cara membangun pagar.

Jika kita memiliki dua kandang identik dengan dimensi x * y, dan luas xy = 12.

Penataan 1 (berdampingan di sisi panjang y):
Total dimensi: (2x) * y
Luas total: 2xy = 24.
Keliling luar: 2(2x) + 2y = 4x + 2y.
Pembatas tengah: y.
Total pagar P1 = 4x + 2y + y = 4x + 3y.
Jika xy=12, y=12/x. P1(x) = 4x + 3(12/x) = 4x + 36/x.
Minimalkan P1(x) => P1'(x) = 4 - 36/x^2 = 0 => x^2 = 9 => x=3. Maka y=12/3=4.
Dalam kasus ini, x=3, y=4. Pagar = 4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24.

Penataan 2 (berdampingan di sisi lebar x):
Total dimensi: x * (2y)
Luas total: 2xy = 24.
Keliling luar: 2x + 2(2y) = 2x + 4y.
Pembatas tengah: x.
Total pagar P2 = 2x + 4y + x = 3x + 4y.
Jika xy=12, y=12/x. P2(x) = 3x + 4(12/x) = 3x + 48/x.
Minimalkan P2(x) => P2'(x) = 3 - 48/x^2 = 0 => x^2 = 16 => x=4. Maka y=12/4=3.
Dalam kasus ini, x=4, y=3. Pagar = 3(4) + 4(3) = 12 + 12 = 24.

Kedua penataan menghasilkan panjang pagar minimum yang sama (24 m), tetapi dengan nilai x dan y yang berbeda tergantung pada bagaimana kandang itu berdampingan.

Namun, soal menyajikan pilihan jawaban yang spesifik untuk x dan y. Kita perlu menentukan penataan mana yang dimaksud atau jika ada interpretasi lain.

Soal ini menyatakan "Dua kandang berdampingan masing-masing dengan ukuran panjang x m, lebar y m". Ini berarti x adalah panjang dan y adalah lebar untuk SETIAP kandang.

Ketika mereka berdampingan, kita bisa membayangkan sebuah persegi panjang besar yang dibagi dua.

Jika mereka berdampingan di sisi y (lebar), maka total dimensi luar adalah 2x (panjang total) dan y (lebar total).
Pagar total = 2(2x) + 2y (luar) + y (pembatas) = 4x + 3y.
Minimal saat x=3, y=4.

Jika mereka berdampingan di sisi x (panjang), maka total dimensi luar adalah x (panjang total) dan 2y (lebar total).
Pagar total = 2x + 2(2y) (luar) + x (pembatas) = 3x + 4y.
Minimal saat x=4, y=3.

Jika soal ini berasal dari konteks tertentu (misalnya buku teks atau ujian), mungkin ada konvensi tentang bagaimana "berdampingan" itu diinterpretasikan. Seringkali, ketika berbicara tentang "panjang x" dan "lebar y", panjang dianggap dimensi yang lebih besar, tetapi tidak selalu.

Mari kita lihat fungsi pagar:
P1(x) = 4x + 36/x
P2(x) = 3x + 48/x

Kedua fungsi ini memiliki nilai minimum yang sama yaitu 24.

Jika kita menganggap bahwa kandang itu sendiri memiliki orientasi di mana 'panjang' adalah sisi yang lebih panjang (atau setidaknya didefinisikan sebagai demikian), maka:
Kasus 1: x=3, y=4. Di sini y > x. Jadi, jika panjang memang harus lebih besar dari lebar, maka ini tidak sesuai.
Kasus 2: x=4, y=3. Di sini x > y. Ini sesuai dengan definisi panjang > lebar.

Namun, soal tidak secara eksplisit menyatakan bahwa panjang > lebar. Hanya memberikan label 'panjang' dan 'lebar'.

Jika kita kembali ke soal asli: "Agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin, maka panjang x dan y berturut-turut .... x y". Ini meminta nilai x dan y.

Kita harus memilih antara (x=3, y=4) atau (x=4, y=3).

Perhatikan bentuk umum dari masalah ini: minimalkan $ax + by$ dengan syarat $xy = C$.
Turunannya adalah $a - bC/x^2 = 0$, sehingga $x^2 = bC/a$, dan $x = 	ext{sqrt}(bC/a)$.

Untuk P1 = 4x + 3y (berdampingan di sisi y):
a=4, b=3, C=12. x = sqrt(3*12/4) = sqrt(36/4) = sqrt(9) = 3. y = 12/3 = 4.

Untuk P2 = 3x + 4y (berdampingan di sisi x):
a=3, b=4, C=12. x = sqrt(4*12/3) = sqrt(48/3) = sqrt(16) = 4. y = 12/4 = 3.

Kedua skenario ini memberikan nilai minimum yang sama untuk panjang pagar. Pertanyaannya adalah, konfigurasi mana yang dimaksud oleh soal, atau apakah ada informasi yang hilang?

Dalam banyak masalah optimasi serupa, jika dimensi luar keseluruhan adalah $L 	imes W$, maka panjang pagar adalah $2L + 2W$ (tanpa pembatas). Jika ada pembatas, maka perimeter ditambah pembatas.

Jika kita memiliki area A = LW, kita ingin meminimalkan perimeter P = 2(L+W).
Dengan kendala A=LW, kita dapatkan L=A/W. P = 2(A/W + W). P' = 2(-A/W^2 + 1) = 0 => W^2 = A => W=sqrt(A).
Ini berarti persegi adalah bentuk yang mengoptimalkan perimeter untuk luas tertentu.

Dalam kasus ini, kita memiliki area total 24 m^2. Jika ini adalah satu blok besar tanpa pembatas, maka dimensi optimal adalah $\sqrt{24} \times \sqrt{24}$ (sekitar 4.9 x 4.9).

Namun, kita memiliki dua kandang yang berdampingan, yang menciptakan pembatas internal.

Mari kita pertimbangkan total perimeter dari kedua kandang SEBELUM digabungkan, yaitu 2 * (2x + 2y) = 4x + 4y. Ketika mereka digabungkan, salah satu sisi mereka menyatu dan tidak memerlukan pagar.

Jika sisi y menyatu: Pagar = (2x + 2y) + (2x + 2y) - 2y = 4x + 2y. Ini adalah keliling luar jika mereka tidak berdampingan. Tapi ini salah.

Jika dua persegi panjang x * y digabungkan di sepanjang sisi y, maka kita punya area gabungan (2x) * y. Luas total = 2xy = 24.
Pagar diperlukan untuk 2 sisi sepanjang 2x dan 2 sisi sepanjang y, plus 1 sisi pembatas sepanjang y. Total = 2(2x) + 2y + y = 4x + 3y.
Minimal saat x=3, y=4.

Jika dua persegi panjang x * y digabungkan di sepanjang sisi x, maka kita punya area gabungan x * (2y). Luas total = 2xy = 24.
Pagar diperlukan untuk 2 sisi sepanjang x dan 2 sisi sepanjang 2y, plus 1 sisi pembatas sepanjang x. Total = 2x + 2(2y) + x = 3x + 4y.
Minimal saat x=4, y=3.

Soal ini mungkin mengasumsikan salah satu tata letak secara implisit, atau ada kesalahan dalam soal jika kedua pasangan (3,4) dan (4,3) memberikan jawaban yang valid.

Seringkali dalam soal semacam ini, jika tidak ditentukan lain, tata letak yang paling efisien adalah yang mengarah ke bentuk yang paling mendekati persegi.

Dalam Kasus 1 (x=3, y=4), dimensi luar adalah 2x=6 dan y=4. Rasio 6:4 = 3:2.
Dalam Kasus 2 (x=4, y=3), dimensi luar adalah x=4 dan 2y=6. Rasio 4:6 = 2:3.

Jika kita melihat fungsi tujuan: $4x + 3y$ vs $3x + 4y$.
Untuk nilai minimum, kedua fungsi bernilai 24.

Mari kita cek nilai fungsi di sekitar titik minimum.
Kasus 1: x=3, y=4. Pagar = 4(3) + 3(4) = 24.
Jika x=2, y=6. Pagar = 4(2) + 3(6) = 8 + 18 = 26.
Jika x=4, y=3. Pagar = 4(4) + 3(3) = 16 + 9 = 25.

Kasus 2: x=4, y=3. Pagar = 3(4) + 4(3) = 24.
Jika x=3, y=4. Pagar = 3(3) + 4(4) = 9 + 16 = 25.
Jika x=5, y=12/5=2.4. Pagar = 3(5) + 4(2.4) = 15 + 9.6 = 24.6.

Kedua kasus memang memberikan minimum yang sama.

Perhatikan bahwa jika kandang itu sendiri adalah persegi, maka x=y. Maka $x^2 = 12$, $x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Dalam hal ini, $x \approx 3.46, y \approx 3.46$.
Jika mereka berdampingan di sisi $y$: $4x + 3y = 4(2\sqrt{3}) + 3(2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 14\sqrt{3} \\approx 14 * 1.732 = 24.248$. Lebih besar dari 24.
Jika mereka berdampingan di sisi $x$: $3x + 4y = 3(2\sqrt{3}) + 4(2\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 14\sqrt{3} \\approx 24.248$. Lebih besar dari 24.

Ini mengkonfirmasi bahwa solusi optimal tidak terjadi ketika kandang individu berbentuk persegi.

Kembali ke soal: "Agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin, maka panjang x dan y berturut-turut .... x y"

Ini adalah pertanyaan pilihan ganda implisit. Jawaban harus berupa pasangan (x, y).

Jika kita harus memilih satu pasangan, kita perlu cara untuk membedakan kedua skenario.

Dalam literatur matematika, seringkali "panjang" diasosiasikan dengan dimensi yang lebih besar. Jika demikian:
- Jika x adalah panjang, y adalah lebar, dan x > y, maka kita gunakan kasus 2, di mana x=4 dan y=3.
- Jika x adalah panjang, y adalah lebar, dan y > x, maka kita gunakan kasus 1, di mana x=3 dan y=4.

Tanpa informasi lebih lanjut atau pilihan jawaban spesifik, sulit untuk menentukan mana yang dimaksud. Namun, dalam soal pilihan ganda, seringkali ada pasangan yang tercantum.

Jika kita mengasumsikan penataan yang paling umum dibahas dalam buku teks untuk masalah seperti ini, seringkali mereka melihat bagaimana meminimalkan perimeter untuk luas total KOTAK besar yang dibentuk oleh kedua kandang.

Jika kandang berdampingan di sisi y, dimensi luar adalah 2x dan y. Luas total 2xy = 24. Agar paling mendekati persegi, 2x = y. Maka 2x * x = 12 => 2x^2 = 12 => x^2 = 6 => x = sqrt(6). Maka y = 2sqrt(6). Pagar = 4x + 3y = 4sqrt(6) + 3(2sqrt(6)) = 4sqrt(6) + 6sqrt(6) = 10sqrt(6) approx 24.49.

Jika kandang berdampingan di sisi x, dimensi luar adalah x dan 2y. Luas total 2xy = 24. Agar paling mendekati persegi, x = 2y. Maka 2y * y = 12 => 2y^2 = 12 => y^2 = 6 => y = sqrt(6). Maka x = 2sqrt(6). Pagar = 3x + 4y = 3(2sqrt(6)) + 4sqrt(6) = 6sqrt(6) + 4sqrt(6) = 10sqrt(6) approx 24.49.

Ini mengarah pada kesimpulan bahwa kedua konfigurasi memberikan minimum yang sama (24) untuk total pagar, tetapi nilai x dan y tergantung pada konfigurasi.

Biasanya, soal semacam ini akan meminta nilai x dan y yang meminimalkan total pagar. Kedua pasangan (3,4) dan (4,3) memberikan total pagar minimum 24.

Jika soalnya adalah "panjang kandang x m, lebar kandang y m", maka:
- Jika mereka berdampingan di sisi lebar (y), maka nilai minimum terjadi ketika x=3 dan y=4.
- Jika mereka berdampingan di sisi panjang (x), maka nilai minimum terjadi ketika x=4 dan y=3.

Karena pertanyaan ini meminta "panjang x dan y berturut-turut", ini menunjukkan urutan penting.
Tanpa pilihan jawaban, kita tidak bisa yakin. Namun, jika kita harus memilih satu, mari kita pertimbangkan mana yang lebih umum.

Dalam banyak konteks, ketika berbicara tentang kandang berdampingan, tata letak yang paling umum dibayangkan adalah kandang-kandang tersebut membentuk sebuah persegi panjang yang lebih besar yang dibagi dua di tengah.

Jika dimensi luar adalah L x W, dan dibagi oleh garis sejajar dengan W, maka Pagar = 2L + 3W. Luas LW = Total Area. Di sini L=2x, W=y. Pagar = 2(2x) + 3y = 4x+3y. Ini mengarah ke x=3, y=4.
Jika dimensi luar adalah L x W, dan dibagi oleh garis sejajar dengan L, maka Pagar = 3L + 2W. Luas LW = Total Area. Di sini L=x, W=2y. Pagar = 3x + 2(2y) = 3x+4y. Ini mengarah ke x=4, y=3.

Jika soal asli tidak memiliki pilihan jawaban, kedua pasangan (3,4) dan (4,3) adalah kandidat.
Namun, jika diasumsikan bahwa "panjang x" dan "lebar y" secara inheren mendefinisikan orientasi kandang sebelum digabungkan, dan penggabungan dilakukan di salah satu sisi, maka kedua skenario harus dianalisis.

Jika kita harus memilih satu, mari kita asumsikan penataan yang meminimalkan pagar jika salah satu dimensi luar menjadi persegi.

Dalam kasus 1 (x=3, y=4), dimensi luar adalah 6x4. Rasio 1.5.
Dalam kasus 2 (x=4, y=3), dimensi luar adalah 4x6. Rasio 2/3 atau 1.5.

Kedua penataan menghasilkan bentuk luar yang sama (6x4 atau 4x6), yang merupakan persegi panjang. Tidak ada yang secara inheren lebih 'persegi' daripada yang lain.

Jika kita melihat pada koefisien di fungsi pagar $ax+by$: $4x+3y$ vs $3x+4y$.
Untuk meminimalkan, $x$ harus lebih besar ketika koefisiennya lebih kecil, dan $y$ harus lebih besar ketika koefisiennya lebih kecil.
Dalam $4x+3y$, koefisien $y$ (3) lebih kecil, jadi kita berharap $y$ akan lebih besar di solusi optimal. Ini terjadi pada $(x=3, y=4)$.
Dalam $3x+4y$, koefisien $x$ (3) lebih kecil, jadi kita berharap $x$ akan lebih besar di solusi optimal. Ini terjadi pada $(x=4, y=3)$.

Tanpa informasi lebih lanjut atau pilihan jawaban, tidak ada cara pasti untuk membedakan. Namun, jika ini adalah soal ujian, seringkali ada satu jawaban yang dimaksud.

Mari kita lihat sumber-sumber serupa. Masalah meminimalkan pagar seringkali mengarah pada bentuk persegi untuk luas keseluruhan jika tidak ada pembatas. Dengan pembatas, kita melihat efek pembatas tersebut.

Jika kita harus memilih satu pasangan (x, y), dan soal ini berasal dari konteks tertentu, mungkin ada konvensi.
Misalnya, jika "panjang" selalu diasumsikan lebih besar dari "lebar", maka kita akan melihat kasus di mana x > y. Ini terjadi pada x=4, y=3.

Jika tidak ada asumsi seperti itu, maka kedua pasangan adalah valid untuk mencapai minimum yang sama.

Mari kita pilih pasangan (4,3) dengan asumsi bahwa "panjang" seringkali merujuk pada dimensi yang lebih besar, dan konfigurasi berdampingan di sisi lebar (x) menghasilkan x=4, y=3.

Jika soalnya adalah pilihan ganda, kita akan melihat opsi seperti:
A. 3 dan 4
B. 4 dan 3
C. 2 dan 6
D. 6 dan 2

Jika kedua opsi A dan B ada, maka soalnya ambigu. Namun, jika hanya salah satu yang ada, itulah jawabannya.

Dalam ketidakpastian ini, mari kita pertimbangkan jika ada cara lain untuk menginterpretasikan soal.

"Dua kandang berdampingan masing-masing dengan ukuran panjang x m, lebar y m". Ini mendefinisikan kandang individu.

Mari kita anggap skenario paling umum: dua kandang berdampingan membentuk persegi panjang yang lebih besar, dan dibagi oleh sekat.

Jika kita membayangkan kedua kandang disusun sehingga sisi dengan panjang 'y' saling menempel (membentuk pembatas), maka dimensi keseluruhan adalah 2x kali y. Pagar yang dibutuhkan adalah keliling luar (2(2x) + 2y) ditambah pembatas (y). Total = 4x + 3y. Ini meminimalkan pada x=3, y=4.

Jika kita membayangkan kedua kandang disusun sehingga sisi dengan panjang 'x' saling menempel (membentuk pembatas), maka dimensi keseluruhan adalah x kali 2y. Pagar yang dibutuhkan adalah keliling luar (2x + 2(2y)) ditambah pembatas (x). Total = 3x + 4y. Ini meminimalkan pada x=4, y=3.

Karena soal meminta "panjang x dan y berturut-turut", dan kedua skenario memberikan minimum yang sama, tanpa informasi tambahan, ini bisa menjadi ambigu.

Namun, jika kita harus memilih satu jawaban, mari kita perhatikan bagaimana soal itu diformulasikan. "panjang x m, lebar y m".

Jika kita membayangkan sebuah "petak" tanah yang panjangnya L dan lebarnya W, dan kita membaginya menjadi dua kandang IDENTIK. Maka luas total $LW = 24$. Pagar = $2L+2W + 	ext{pembatas}$.

Jika pembatas sejajar dengan W (panjang L dibagi dua), maka kandang masing-masing adalah (L/2) x W. Jadi x = L/2, y = W. Pagar = $2L+2W+W = 2L+3W$. Karena $L=2x, W=y$, Pagar = $2(2x)+3y = 4x+3y$. Minimum jika $x=3, y=4$. Ini berarti kandang individu 3x4.

Jika pembatas sejajar dengan L (panjang W dibagi dua), maka kandang masing-masing adalah L x (W/2). Jadi x = L, y = W/2. Pagar = $2L+2W+L = 3L+2W$. Karena $L=x, W=2y$, Pagar = $3x+2(2y) = 3x+4y$. Minimum jika $x=4, y=3$. Ini berarti kandang individu 4x3.

Dalam kedua kasus, kandang individu memiliki luas 12. Dan total pagar minimum adalah 24.

Soal hanya meminta nilai x dan y. Kedua pasangan (3,4) dan (4,3) adalah solusi yang valid tergantung pada cara kandang disusun.

Jika kita mengasumsikan penataan yang paling umum di mana sekatnya tegak lurus terhadap sisi yang lebih panjang dari area gabungan, atau sejajar dengan sisi yang lebih pendek.

Kasus 1: Luas gabungan 6x4. Sisi terpanjang 6, sisi terpendek 4. Sekat sejajar dengan sisi pendek (panjang 4). Dimensi kandang 3x4. x=3, y=4. Pagar = 4(3) + 3(4) = 24.
Kasus 2: Luas gabungan 4x6. Sisi terpanjang 6, sisi terpendek 4. Sekat sejajar dengan sisi pendek (panjang 4). Dimensi kandang 4x3. x=4, y=3. Pagar = 3(4) + 4(3) = 24.

Ini mengkonfirmasi bahwa kedua pasangan menghasilkan pagar minimum yang sama.

Namun, jika kita melihat soal lagi, "panjang x m, lebar y m". Jika kita menganggap "panjang" adalah dimensi utama atau sisi yang lebih panjang, maka:
- Dalam kasus 1 (3x4), jika x=3, y=4, maka lebar > panjang. Ini mungkin tidak sesuai dengan konvensi.
- Dalam kasus 2 (4x3), jika x=4, y=3, maka panjang > lebar. Ini sesuai dengan konvensi.

Oleh karena itu, pasangan (4, 3) tampaknya lebih sesuai dengan interpretasi standar "panjang x" dan "lebar y" di mana panjang lebih besar dari lebar.

Jadi, panjang x = 4 m dan lebar y = 3 m.