Grafik fungsi f(x)=cos(2x) cekung ke atas pada interval

Interval cekung ke atas adalah (45° + k*180°, 135° + k*180°).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana grafik fungsi f(x) = cos(2x) cekung ke atas, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan kedua bernilai positif.
Langkah 1: Cari turunan pertama (f'(x)).
f'(x) = d/dx (cos(2x))
Menggunakan aturan rantai, turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u', di mana u = 2x dan u' = 2.
Jadi, f'(x) = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x).

Langkah 2: Cari turunan kedua (f''(x)).
f''(x) = d/dx (-2sin(2x))
Menggunakan aturan rantai lagi, turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u', di mana u = 2x dan u' = 2.
Jadi, f''(x) = -2 * cos(2x) * 2 = -4cos(2x).

Langkah 3: Tentukan kapan f''(x) > 0 untuk cekung ke atas.
Kita perlu mencari interval di mana -4cos(2x) > 0.
Bagi kedua sisi dengan -4 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
cos(2x) < 0.

Langkah 4: Cari interval di mana cos(θ) < 0.
Fungsi cosinus bernilai negatif di kuadran II dan III.
Untuk sudut θ, ini berarti 90 derajat < θ < 270 derajat (atau π/2 < θ < 3π/2 dalam radian).
Dalam kasus kita, θ = 2x.
Jadi, 90 derajat < 2x < 270 derajat.

Langkah 5: Selesaikan untuk x.
Bagi seluruh ketidaksamaan dengan 2:
90/2 < x < 270/2
45 derajat < x < 135 derajat.

Namun, kita perlu mempertimbangkan periode fungsi cos(2x). Periode fungsi cos(bx) adalah 360/b. Dalam kasus ini, periode cos(2x) adalah 360/2 = 180 derajat.
Jadi, kita perlu mencari interval di mana cos(2x) < 0 dalam satu periode dan kemudian mengulanginya.
Dalam interval 0 <= x < 180 (satu periode untuk cos(2x)), cos(2x) < 0 ketika 45 < x < 135.
Periode fungsi cos(2x) adalah 180 derajat. Jadi, pola ini akan berulang setiap 180 derajat.
Interval cekung ke atas adalah ketika cos(2x) < 0.
Ini terjadi ketika 2x berada di kuadran II atau III dari sudut standar.
Jadi, pi/2 + 2k*pi < 2x < 3*pi/2 + 2k*pi, dimana k adalah bilangan bulat.
Untuk kesederhanaan, kita bisa bekerja dalam derajat:
90 + k*360 < 2x < 270 + k*360.
Bagi dengan 2:
45 + k*180 < x < 135 + k*180.
Untuk k = 0: 45 < x < 135.
Untuk k = 1: 45 + 180 < x < 135 + 180  => 225 < x < 315.

Jadi, grafik fungsi f(x) = cos(2x) cekung ke atas pada interval (45 + k*180, 135 + k*180) derajat, di mana k adalah bilangan bulat.