Grafik y=3^(x+1)-(1/9)^x berada di bawah grafik y=3^x+1

x < 0

Pembahasan

Untuk menentukan kondisi agar grafik y = 3^(x+1) - (1/9)^x berada di bawah grafik y = 3^x + 1, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan:
3^(x+1) - (1/9)^x < 3^x + 1
Ubah bentuk persamaan agar basisnya sama:
3^(x+1) - (3^-2)^x < 3^x + 1
3^x * 3^1 - 3^(-2x) < 3^x + 1
3 * 3^x - 1/(3^(2x)) < 3^x + 1
Misalkan P = 3^x. Maka persamaan menjadi:
3P - 1/P^2 < P + 1
Kalikan kedua sisi dengan P^2 (karena P = 3^x selalu positif, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah):
3P^3 - 1 < P^3 + P^2
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
2P^3 - P^2 - 1 < 0
Kita perlu mencari akar dari persamaan 2P^3 - P^2 - 1 = 0. Dengan mencoba beberapa nilai P, kita temukan bahwa P=1 adalah salah satu akarnya:
2(1)^3 - (1)^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0.
Karena P=1 adalah akar, maka (P-1) adalah faktor dari 2P^3 - P^2 - 1. Dengan pembagian polinomial, kita dapatkan:
(P-1)(2P^2 + P + 1) < 0
Sekarang kita analisis faktor 2P^2 + P + 1. Diskriminannya adalah D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7. Karena diskriminan negatif dan koefisien P^2 (yaitu 2) positif, maka 2P^2 + P + 1 selalu positif untuk semua nilai P.
Oleh karena itu, agar pertidaksamaan (P-1)(2P^2 + P + 1) < 0 terpenuhi, maka (P-1) harus negatif:
P - 1 < 0
P < 1
Karena P = 3^x, maka:
3^x < 1
3^x < 3^0
Karena basis (3) lebih besar dari 1, maka kita bisa langsung membandingkan eksponennya:
x < 0
Jadi, grafik y = 3^(x+1) - (1/9)^x berada di bawah grafik y = 3^x + 1 jika x < 0.