Gunakan definisi turunan menggunakan limit: f'(x)=lim h->0

\(f'(x) = rac{a}{2 ext{sqrt}(ax)}\)

Pembahasan

Kita akan menggunakan definisi turunan menggunakan limit: \(f'(x) = \lim_{h 	o 0} rac{f(x+h) - f(x)}{h}\) untuk mencari turunan dari \(f(x) = 	ext{akar}(ax) = \sqrt{ax}\).

Langkah 1: Tentukan \(f(x+h)\).
\(f(x+h) = 	ext{akar}(a(x+h)) = 	ext{akar}(ax + ah) = 	ext{sqrt}(ax + ah)\)

Langkah 2: Substitusikan \(f(x+h)\) dan \(f(x)\) ke dalam rumus limit.
\(f'(x) = 	ext{lim}_{h 	o 0} rac{	ext{sqrt}(ax + ah) - 	ext{sqrt}(ax)}{h}\)

Langkah 3: Kalikan dengan konjugat untuk menghilangkan akar di pembilang.
Konjugat dari \(	ext{sqrt}(ax + ah) - 	ext{sqrt}(ax)\) adalah \(	ext{sqrt}(ax + ah) + 	ext{sqrt}(ax)\).

\(f'(x) = 	ext{lim}_{h 	o 0} rac{	ext{sqrt}(ax + ah) - 	ext{sqrt}(ax)}{h} 	imes rac{	ext{sqrt}(ax + ah) + 	ext{sqrt}(ax)}{	ext{sqrt}(ax + ah) + 	ext{sqrt}(ax)}\)

\(f'(x) = 	ext{lim}_{h 	o 0} rac{(ax + ah) - (ax)}{h(	ext{sqrt}(ax + ah) + 	ext{sqrt}(ax))}\)

\(f'(x) = 	ext{lim}_{h 	o 0} rac{ah}{h(	ext{sqrt}(ax + ah) + 	ext{sqrt}(ax))}\)

Langkah 4: Batalkan \(h\) di pembilang dan penyebut.
\(f'(x) = 	ext{lim}_{h 	o 0} rac{a}{	ext{sqrt}(ax + ah) + 	ext{sqrt}(ax)}\)

Langkah 5: Substitusikan \(h = 0\) ke dalam persamaan.
\(f'(x) = rac{a}{	ext{sqrt}(ax + a(0)) + 	ext{sqrt}(ax)}\)

\(f'(x) = rac{a}{	ext{sqrt}(ax) + 	ext{sqrt}(ax)}\)

\(f'(x) = rac{a}{2 	ext{sqrt}(ax)}\)

Kita juga bisa menulis \(	ext{sqrt}(ax)\) sebagai \(a^{1/2} x^{1/2}\).
\(f'(x) = rac{a}{2 a^{1/2} x^{1/2}} = rac{a^{1 - 1/2}}{2 x^{1/2}} = rac{a^{1/2}}{2 x^{1/2}} = rac{	ext{sqrt}(a)}{2 	ext{sqrt}(x)} = rac{1}{2} 	ext{sqrt}(rac{a}{x})\)

Jadi, turunan dari \(f(x) = 	ext{akar}(ax)\) adalah \(f'(x) = rac{a}{2	ext{sqrt}(ax)}\) atau \(f'(x) = rac{1}{2}	ext{sqrt}(rac{a}{x})\).