Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n

Jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n^2, dibuktikan dengan induksi matematika melalui basis induksi, hipotesis induksi, dan langkah induksi.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n^2 menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1. Jumlah 1 bilangan ganjil positif pertama adalah 1. Menurut rumus, n^2 = 1^2 = 1. Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k. Artinya, jumlah k bilangan ganjil positif pertama adalah k^2.
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2

Langkah 3: Langkah Induksi
Buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, jumlah (k+1) bilangan ganjil positif pertama adalah (k+1)^2.
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2

Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2. Maka, kita bisa substitusikan ke dalam persamaan di atas:
k^2 + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2
k^2 + (2k + 2 - 1) = (k+1)^2
k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2
(k+1)^2 = (k+1)^2

Karena kedua sisi persamaan sama, maka pernyataan tersebut benar untuk n=k+1.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n^2.