Gunkan teorema faktor untuk memfaktorisisai polinomial

Faktorisasi polinomial adalah $(x-1)(x-2)(2x-3)(2x+3)$.

Pembahasan

Untuk memfaktorkan polinomial $P(x) = 4x^4 - 12x^3 - x^2 + 27x - 18$ menggunakan teorema faktor, kita perlu mencari akar-akar rasional yang mungkin. Akar-akar rasional yang mungkin adalah faktor dari konstanta $(-18)$ dibagi dengan faktor dari koefisien utama $(4)$.

Faktor dari -18: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$
Faktor dari 4: $\pm1, \pm2, \pm4$

Akar rasional yang mungkin (p/q): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}, \pm\frac{9}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{3}{4}, \pm\frac{9}{4}$

Mari kita uji beberapa nilai:

- Uji $x=1$: $P(1) = 4(1)^4 - 12(1)^3 - (1)^2 + 27(1) - 18 = 4 - 12 - 1 + 27 - 18 = 0$. Jadi, $(x-1)$ adalah faktor.

Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau sintetik untuk membagi $P(x)$ dengan $(x-1)$.

Pembagian Sintetik dengan $(x-1)$:
```
1 | 4  -12  -1   27  -18
  |    4  -8   -9   18
  --------------------
    4  -8   -9   18    0
```
Hasilnya adalah $4x^3 - 8x^2 - 9x + 18$. Sekarang kita faktorkan polinomial kubik ini.

Mari kita uji $x=2$ pada polinomial baru:
$4(2)^3 - 8(2)^2 - 9(2) + 18 = 4(8) - 8(4) - 18 + 18 = 32 - 32 - 18 + 18 = 0$. Jadi, $(x-2)$ adalah faktor.

Pembagian Sintetik dengan $(x-2)$ pada $4x^3 - 8x^2 - 9x + 18$:
```
2 | 4  -8  -9   18
  |    8   0  -18
  ----------------
    4   0  -9    0
```
Hasilnya adalah $4x^2 - 9$. Ini adalah selisih kuadrat, $ (2x)^2 - 3^2 $. Jadi, dapat difaktorkan menjadi $(2x-3)(2x+3)$.

Dengan demikian, faktorisasi lengkap dari $4x^4 - 12x^3 - x^2 + 27x - 18$ adalah $(x-1)(x-2)(2x-3)(2x+3)$.