Harga x yang memenuhi persamaan sin x+cos x+tan x+cot

3π/4 dan 7π/4.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah sin x + cos x + tan x + cot x = 2/(sin 2x).
Kita tahu bahwa sin 2x = 2 sin x cos x.
Juga, tan x = sin x / cos x dan cot x = cos x / sin x.

Menggabungkan tan x + cot x:
tan x + cot x = (sin x / cos x) + (cos x / sin x) = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x).

Sekarang substitusikan kembali ke persamaan awal:
sin x + cos x + 1 / (sin x cos x) = 2 / (2 sin x cos x)
sin x + cos x + 1 / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x)

Kurangi kedua sisi dengan 1 / (sin x cos x):
sin x + cos x = 0

Ini terjadi ketika sin x = -cos x, atau tan x = -1.
Nilai x yang memenuhi tan x = -1 dalam interval [0, 2π) adalah x = 3π/4 dan x = 7π/4.

Namun, kita perlu memeriksa apakah penyebut dalam persamaan asli tidak nol.
Penyebutnya adalah sin x, cos x, dan sin 2x. Ini berarti sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, dan sin 2x ≠ 0.
Jika sin x = 0 atau cos x = 0, maka tan x atau cot x tidak terdefinisi.
Jika sin 2x = 0, maka 2x = nπ, atau x = nπ/2. Ini berarti x tidak boleh 0, π/2, π, 3π/2, dll.

Untuk x = 3π/4:
sin(3π/4) = 1/√2
cos(3π/4) = -1/√2
tan(3π/4) = -1
cot(3π/4) = -1
sin(2 * 3π/4) = sin(3π/2) = -1

Substitusikan ke persamaan asli:
1/√2 + (-1/√2) + (-1) + (-1) = 2 / (-1)
0 - 2 = -2
-2 = -2

Ini benar.

Untuk x = 7π/4:
sin(7π/4) = -1/√2
cos(7π/4) = 1/√2
tan(7π/4) = -1
cot(7π/4) = -1
sin(2 * 7π/4) = sin(7π/2) = sin(3π/2 + 2π) = -1

Substitusikan ke persamaan asli:
-1/√2 + 1/√2 + (-1) + (-1) = 2 / (-1)
0 - 2 = -2
-2 = -2

Ini juga benar.

Jadi, harga x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3π/4 dan 7π/4.