Hasil dari 7log8.2log9.3log1/7 adalah....

-6

Pembahasan

Untuk menghitung hasil dari \(7\log8 \cdot \log9 \cdot \log(1/7)\), kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma.

Pertama, kita ubah basis logaritma jika diperlukan dan sederhanakan bentuknya:
\(7\log8 = \log_7(8)\)
\(2\log9 = \log_2(9)\)
\(3\log(1/7) = \log_3(1/7)\)

Rumus yang relevan:
1. \(\log_b(a^m) = m \log_b(a)\)
2. \(\log_b(a) = 1 / \log_a(b)\)
3. Sifat perubahan basis: \(\log_b(a) \cdot \log_c(b) = \log_c(a)\)

Mari kita terapkan pada soal:
\(7\log8 \cdot 2\log9 \cdot 3\log(1/7)\)

Ubah bentuk angka di depan logaritma menjadi pangkat di dalam logaritma:
\(\log_7(8^7) \cdot \log_2(9^2) \cdot \log_3((1/7)^3)\)
\(\log_7(8^7) \cdot \log_2(81) \cdot \log_3(1/343)\)

Ini terlihat rumit jika dihitung langsung. Mari kita coba gunakan sifat perubahan basis secara berbeda.

Perhatikan bahwa \(8 = 2^3\), \(9 = 3^2\), dan \(1/7 = 7^{-1}\).

\(7\log8 \cdot 2\log9 \cdot 3\log(1/7)\)
\(= \log_7(2^3) \cdot \log_2(3^2) \cdot \log_3(7^{-1}) \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3\)
\(= 3 \log_7(2) \cdot 2 \log_2(3) \cdot (-1) \log_3(7) \cdot 42\)

Gunakan sifat perubahan basis \(\log_b(a) \cdot \log_c(b) = \log_c(a)\):
\(\log_7(2) \cdot \log_2(3) = \log_7(3)\)

Maka, ekspresi menjadi:
\(3 \cdot (\log_7(3)) \cdot (-1) \log_3(7) \cdot 42\)

Sekarang gunakan sifat \(\log_b(a) \cdot \log_a(b) = 1\) atau \(\log_b(a) = 1 / \log_a(b)\):
\(\log_7(3) \cdot \log_3(7) = 1\)

Jadi, ekspresi menjadi:
\(3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 42\)
\(= -126\)

Perlu diperhatikan bahwa soal asli adalah \(7\log8 \cdot 2\log9 \cdot 3\log(1/7)\), bukan \(\log_7 8 \cdot \log_2 9 \cdot \log_3 (1/7)\). Angka di depan logaritma adalah koefisien.

Jadi, \(7\log8 \cdot 2\log9 \cdot 3\log(1/7)\)
\(= (7 	imes 2 	imes 3) \times (\log8 \cdot \log9 \cdot \log(1/7))\)

Jika \(\. \)  menandakan perkalian, dan basis logaritma adalah 10 (umumnya jika tidak ditulis):
\(= 42 \times (\log(2^3) \cdot \log(3^2) \cdot \log(7^{-1}))\)
\(= 42 \times (3\log2 \cdot 2\log3 \cdot (-1)\log7)\)
\(= 42 \times (-6 \log2 \cdot \log3 \cdot \log7)\)

Hasil ini tidak bisa disederhanakan lebih lanjut tanpa nilai numerik dari \(\log2\), \(\log3\), dan \(\log7\). Ada kemungkinan interpretasi soal yang berbeda.

**Interpretasi Lain:** Jika soal maksudnya adalah perkalian logaritma dengan basis yang berbeda-beda seperti: \(\log_7 8 \times \log_2 9 \times \log_3 (1/7)\) (tanpa angka 7, 2, 3 di depan).

\(\log_7 8 \times \log_2 9 \times \log_3 (1/7)\)
\(= \log_7 (2^3) \times \log_2 (3^2) \times \log_3 (7^{-1})\)
\(= 3 \log_7 2 \times 2 \log_2 3 \times (-1) \log_3 7\)
\(= (3 	imes 2 	imes -1) \times (\log_7 2 \times \log_2 3 \times \log_3 7)\)
\(= -6 \times ((\log_7 2 \times \log_2 3) \times \log_3 7)\)
Gunakan sifat perubahan basis \(\log_b a \times \log_c b = \log_c a\):
\(= -6 \times (\log_7 3 \times \log_3 7)\)
Gunakan sifat \(\log_b a \times \log_a b = 1\):
\(= -6 	imes 1\)
\(= -6\)

Mengingat format soal ujian, interpretasi kedua lebih mungkin dimaksudkan. Jika angka di depan logaritma adalah koefisien, maka soal tidak memiliki jawaban numerik sederhana. Jika itu adalah basis, maka jawabannya adalah -6.