Populasi penduduk pada suatu daerah memenuhi

dN/dt = 4/(t+3)^2 - 7200/(t+3)^3

Pembahasan

Untuk menentukan \(dN/dt\), kita perlu menghitung turunan dari fungsi populasi \(N\) terhadap waktu \(t\).

Fungsi populasi diberikan oleh:
\(N = 240.000 - 4/(t+3) + 3.600/(t+3)^2\)

Kita dapat menulis ulang fungsi tersebut menggunakan notasi pangkat negatif agar lebih mudah diturunkan:
\(N = 240.000 - 4(t+3)^{-1} + 3.600(t+3)^{-2}\)

Sekarang, kita turunkan setiap suku terhadap \(t\) menggunakan aturan pangkat \(d/dx(u^n) = n u^{n-1} du/dx\) dan aturan konstanta \(d/dx(c) = 0\).

1. Turunan dari \(240.000\) adalah 0, karena merupakan konstanta.
   \(d/dt (240.000) = 0\)

2. Turunan dari \(-4(t+3)^{-1}\):
   Gunakan aturan rantai. Misalkan \(u = t+3\), maka \(du/dt = 1\).
   \(d/dt [-4u^{-1}] = -4 \times (-1) u^{-1-1} \times du/dt\)
   \(= 4 u^{-2} \times 1\)
   \(= 4(t+3)^{-2}\)
   Atau \(4/(t+3)^2\).

3. Turunan dari \(3.600(t+3)^{-2}\):
   Gunakan aturan rantai. Misalkan \(u = t+3\), maka \(du/dt = 1\).
   \(d/dt [3.600 u^{-2}] = 3.600 \times (-2) u^{-2-1} \times du/dt\)
   \(= -7.200 u^{-3} \times 1\)
   \(= -7.200(t+3)^{-3}\)
   Atau \(-7200/(t+3)^3\).

Sekarang, kita jumlahkan turunan dari setiap suku untuk mendapatkan \(dN/dt\):
\(dN/dt = 0 + 4(t+3)^{-2} - 7.200(t+3)^{-3}\)
\(dN/dt = \frac{4}{(t+3)^2} - \frac{7200}{(t+3)^3}\)

Jadi, \(dN/dt\) adalah \(\frac{4}{(t+3)^2} - \frac{7200}{(t+3)^3}\).