Hasil dari integral -1 2 3x(x+2)^2 dx= ....

261/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu ini, kita perlu mencari antiturunan dari fungsi 3x(x+2)² dan kemudian mengevaluasinya pada batas atas dan batas bawah.

Langkah 1: Ekspansi dan Sederhanakan Fungsi
Fungsi yang akan diintegralkan adalah 3x(x+2)².
Pertama, ekspansikan (x+2)²:
(x+2)² = x² + 4x + 4

Sekarang kalikan dengan 3x:
3x(x² + 4x + 4) = 3x³ + 12x² + 12x

Langkah 2: Cari Antiturunan
Sekarang kita perlu mencari antiturunan dari 3x³ + 12x² + 12x:
∫ (3x³ + 12x² + 12x) dx

Menggunakan aturan pangkat untuk integral (∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1)):
Antiturunan dari 3x³ adalah 3 * (x⁴ / 4) = (3/4)x⁴
Antiturunan dari 12x² adalah 12 * (x³ / 3) = 4x³
Antiturunan dari 12x adalah 12 * (x² / 2) = 6x²

Jadi, antiturunannya adalah F(x) = (3/4)x⁴ + 4x³ + 6x².

Langkah 3: Evaluasi Integral Tentu
Kita perlu mengevaluasi F(x) dari -1 hingga 2:
∫[-1 to 2] (3x³ + 12x² + 12x) dx = F(2) - F(-1)

Evaluasi F(2):
F(2) = (3/4)(2)⁴ + 4(2)³ + 6(2)²
F(2) = (3/4)(16) + 4(8) + 6(4)
F(2) = 3 * 4 + 32 + 24
F(2) = 12 + 32 + 24
F(2) = 68

Evaluasi F(-1):
F(-1) = (3/4)(-1)⁴ + 4(-1)³ + 6(-1)²
F(-1) = (3/4)(1) + 4(-1) + 6(1)
F(-1) = 3/4 - 4 + 6
F(-1) = 3/4 + 2
F(-1) = 3/4 + 8/4
F(-1) = 11/4

Sekarang hitung F(2) - F(-1):
68 - 11/4
= (68 * 4) / 4 - 11/4
= 272/4 - 11/4
= 261/4

Jadi, hasil dari integral tentu tersebut adalah 261/4.