Hasil dari integral 9x(x-10)/(x^3-15x^2-16)^(2/4) dx=...

Hasil integralnya adalah $6\sqrt{x^3 - 15x^2 - 16} + C$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int \frac{9x(x-10)}{(x^3-15x^2-16)^{2/4}} dx$, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam integral terlebih dahulu. Perhatikan bahwa pangkat pada penyebut adalah $2/4$, yang dapat disederhanakan menjadi $1/2$.

Integral menjadi: $\int \frac{9x(x-10)}{(x^3-15x^2-16)^{1/2}} dx$

Misalkan $u = x^3 - 15x^2 - 16$. Maka, turunan dari $u$ terhadap $x$ adalah:
$\frac{du}{dx} = 3x^2 - 30x$
$\frac{du}{dx} = 3x(x - 10)$

Dari sini, kita bisa mendapatkan $du = 3x(x - 10) dx$. Kita juga bisa menulis ulang $3x(x-10)$ sebagai $\frac{1}{3} du = x(x - 10) dx$.

Sekarang, substitusikan ke dalam integral:
$\int \frac{9}{(x^3-15x^2-16)^{1/2}} \times (x(x-10) dx)$
$\int \frac{9}{u^{1/2}} \times \frac{1}{3} du$
$\int 3 u^{-1/2} du$

Sekarang, kita integralkan terhadap $u$:
$3 \frac{u^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C$
$3 \frac{u^{1/2}}{1/2} + C$
$3 	imes 2 u^{1/2} + C$
$6 u^{1/2} + C$

Terakhir, substitusikan kembali $u = x^3 - 15x^2 - 16$:
$6 (x^3 - 15x^2 - 16)^{1/2} + C$

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah $6\sqrt{x^3 - 15x^2 - 16} + C$.