Hasil dari lim x->0

-3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu mengevaluasi bentuk tak tentu yang muncul saat x mendekati 0. Jika kita substitusikan x=0:
Pembilang: √(0+4) - √(3*0+4) = √4 - √4 = 2 - 2 = 0
Penyebut: √(9-2*0) - √(9-4*0) = √9 - √9 = 3 - 3 = 0

Karena hasilnya adalah bentuk 0/0, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan akar sekawan (conjugate) pada pembilang dan penyebut, atau menggunakan Aturan L'Hôpital.

Metode 1: Mengalikan dengan Akar Sekawan
Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari pembilang dan akar sekawan dari penyebut.

Sekawan pembilang: √(x+4) + √(3x+4)
Sekawan penyebut: √(9-2x) + √(9-4x)

Limit = lim x->0 [ (√(x+4) - √(3x+4)) / (√(9-2x) - √(9-4x)) ]

Kalikan dengan sekawan pembilang:
= lim x->0 [ (√(x+4) - √(3x+4))(√(x+4) + √(3x+4)) / (√(9-2x) - √(9-4x))(√(x+4) + √(3x+4)) ]
= lim x->0 [ ((x+4) - (3x+4)) / (√(9-2x) - √(9-4x))(√(x+4) + √(3x+4)) ]
= lim x->0 [ (x+4 - 3x-4) / (√(9-2x) - √(9-4x))(√(x+4) + √(3x+4)) ]
= lim x->0 [ (-2x) / (√(9-2x) - √(9-4x))(√(x+4) + √(3x+4)) ]

Sekarang, kalikan dengan sekawan penyebut:
= lim x->0 [ (-2x)(√(9-2x) + √(9-4x)) / (√(9-2x) - √(9-4x))(√(9-2x) + √(9-4x))(√(x+4) + √(3x+4)) ]
= lim x->0 [ (-2x)(√(9-2x) + √(9-4x)) / ((9-2x) - (9-4x))(√(x+4) + √(3x+4)) ]
= lim x->0 [ (-2x)(√(9-2x) + √(9-4x)) / (9-2x - 9+4x)(√(x+4) + √(3x+4)) ]
= lim x->0 [ (-2x)(√(9-2x) + √(9-4x)) / (2x)(√(x+4) + √(3x+4)) ]

Kita bisa membatalkan '2x' di pembilang dan penyebut (karena x->0, x tidak sama dengan 0):
= lim x->0 [ -(√(9-2x) + √(9-4x)) / (√(x+4) + √(3x+4)) ]

Sekarang substitusikan x = 0:
= -(√(9-2*0) + √(9-4*0)) / (√(0+4) + √(3*0+4))
= -(√9 + √9) / (√4 + √4)
= -(3 + 3) / (2 + 2)
= -6 / 4
= -3 / 2

Metode 2: Aturan L'Hôpital
Karena bentuknya 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan pembilang f(x) = √(x+4) - √(3x+4) = (x+4)^(1/2) - (3x+4)^(1/2)
f'(x) = (1/2)(x+4)^(-1/2)*(1) - (1/2)(3x+4)^(-1/2)*(3)
f'(x) = 1 / (2√(x+4)) - 3 / (2√(3x+4))

Turunan penyebut g(x) = √(9-2x) - √(9-4x) = (9-2x)^(1/2) - (9-4x)^(1/2)
g'(x) = (1/2)(9-2x)^(-1/2)*(-2) - (1/2)(9-4x)^(-1/2)*(-4)
g'(x) = -1 / √(9-2x) + 2 / √(9-4x)

Sekarang hitung limit dari f'(x)/g'(x):
lim x->0 [ (1 / (2√(x+4)) - 3 / (2√(3x+4))) / (-1 / √(9-2x) + 2 / √(9-4x)) ]
Substitusikan x = 0:
= [ (1 / (2√4) - 3 / (2√4)) / (-1 / √9 + 2 / √9) ]
= [ (1 / (2*2) - 3 / (2*2)) / (-1 / 3 + 2 / 3) ]
= [ (1 / 4 - 3 / 4) / (1 / 3) ]
= [ (-2 / 4) / (1 / 3) ]
= [ (-1 / 2) / (1 / 3) ]
= (-1 / 2) * (3 / 1)
= -3 / 2

Kedua metode memberikan hasil yang sama.