Hasil dari lim x->3 (1-cos(x-3))/(x^2-6x+9)= ...

Hasil limit adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 3} \frac{1 - \cos(x - 3)}{x^2 - 6x + 9}$, kita dapat menggunakan substitusi dan sifat-sifat limit. 

Pertama, perhatikan penyebutnya: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Jadi, limitnya menjadi $\lim_{x \to 3} \frac{1 - \cos(x - 3)}{(x - 3)^2}$.

Jika kita substitusikan $x = 3$, kita mendapatkan bentuk $\frac{1 - \cos(0)}{0^2} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. Kita bisa menggunakan identitas trigonometri $1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$.

Dalam kasus ini, $\theta = x - 3$. Jadi, $1 - \cos(x - 3) = 2\sin^2(\frac{x - 3}{2})$.

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 3} \frac{2\sin^2(\frac{x - 3}{2})}{(x - 3)^2}$.

Kita bisa menulis ulang ini sebagai: $2 \cdot \lim_{x \to 3} \left( \frac{\sin(\frac{x - 3}{2})}{x - 3} \right)^2$.

Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$. Agar sesuai dengan bentuk ini, kita perlu menyesuaikan penyebut di dalam kurung.

Misalkan $u = \frac{x - 3}{2}$. Maka ketika $x \to 3$, $u \to 0$. Juga, $x - 3 = 2u$.

Jadi, limit di dalam kurung menjadi: $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{2u} = \frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Sekarang, kita kembali ke limit awal:
$2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah $\frac{1}{2}$.