Hasil limit x mendekati tak hingga (akar(x^2-2x+3) -

-3

Pembahasan

Soal ini menanyakan tentang hasil dari limit suatu fungsi yang melibatkan akar kuadrat ketika variabel mendekati tak hingga. Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 1})$, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan bentuk sekawan.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Kalikan fungsi dengan bentuk sekawannya:
   $(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 1}) \times \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 1}}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 1}}$

2. Gunakan identitas $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ pada pembilang:
   $rac{(x^2 - 2x + 3) - (x^2 + 4x - 1)}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 1}}$

3. Sederhanakan pembilang:
   $rac{x^2 - 2x + 3 - x^2 - 4x + 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 1}} = \frac{-6x + 4}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 1}}$

4. Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (atau $\sqrt{x^2}$):
   $\frac{\frac{-6x}{x} + \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + 4x - 1}}{x}}$
   Karena $x \to \infty$, maka $x = \sqrt{x^2}$:
   $\frac{-6 + \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}}$
   $\frac{-6 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}}$

5. Terapkan limit ketika $x \to \infty$. Suku-suku yang memiliki x di penyebut akan menjadi 0:
   $\frac{-6 + 0}{\sqrt{1 - 0 + 0} + \sqrt{1 + 0 - 0}} = \frac{-6}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{-6}{1 + 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Hasil limitnya adalah -3.