Dari 10 atlet, akan dikirimkan 4 atlet saja. Tentukan

a. 210 cara, b. 84 cara, c. 56 cara.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan kombinasi dalam peluang. Kita perlu menghitung jumlah cara berbeda untuk memilih 4 atlet dari 10 atlet dalam beberapa kondisi.

a. Semua atlet mempunyai kemungkinan yang sama untuk ikut dikirimkan:
Ini adalah masalah kombinasi C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), di mana n adalah jumlah total item dan k adalah jumlah item yang dipilih.
Jumlah cara = C(10, 4) = 10! / (4!(10-4)!)
= 10! / (4!6!)
= (10 * 9 * 8 * 7 * 6!) / ((4 * 3 * 2 * 1) * 6!)
= (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1)
= (10 * 3 * 7) = 210 cara.

b. Seorang atlet sudah pasti ikut, sedangkan yang lain mempunyai kemungkinan yang sama untuk ikut:
Jika satu atlet sudah pasti ikut, maka kita perlu memilih 3 atlet lagi dari sisa 9 atlet.
Jumlah cara = C(9, 3) = 9! / (3!(9-3)!)
= 9! / (3!6!)
= (9 * 8 * 7 * 6!) / ((3 * 2 * 1) * 6!)
= (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1)
= (3 * 4 * 7) = 84 cara.

c. Seorang atlet sudah pasti ikut, dan ada pula seorang atlet yang sudah pasti tidak ikut, sedangkan yang lain mempunyai kemungkinan yang sama untuk ikut:
Jika satu atlet sudah pasti ikut dan satu atlet lain sudah pasti tidak ikut, maka kita perlu memilih 3 atlet lagi dari sisa 8 atlet (10 - 1 - 1 = 8).
Jumlah cara = C(8, 3) = 8! / (3!(8-3)!)
= 8! / (3!5!)
= (8 * 7 * 6 * 5!) / ((3 * 2 * 1) * 5!)
= (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1)
= (8 * 7) = 56 cara.

Jadi, banyaknya cara berbeda adalah: a. 210 cara, b. 84 cara, c. 56 cara.