Hasil pengukuran diameter batang baja dalam cm adalah

Terdapat inkonsistensi dalam data soal karena tidak memungkinkan mendapatkan rataan 5 dengan frekuensi non-negatif. Jika dipaksakan, nilai a dan b akan negatif atau pecahan yang tidak masuk akal sebagai frekuensi.

Pembahasan

Diketahui data pengukuran diameter batang baja dalam cm beserta frekuensinya:
Diameter (x): 3, 5, 7, 11, 12
Frekuensi (f): 3, 4, a, b, 5

Ukuran data (jumlah total frekuensi) adalah 40.
Jumlah frekuensi = 3 + 4 + a + b + 5 = 40
12 + a + b = 40
a + b = 40 - 12
a + b = 28  ...(1)

Rataan hitung (\(\bar{x}\)) adalah 5.
Rumus rataan hitung data berkelompok: \(\bar{x} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i}\)

Kita substitusikan nilai yang diketahui:
5 = \frac{(3 \cdot 3) + (4 \cdot 5) + (a \cdot 7) + (b \cdot 11) + (5 \cdot 12)}{40}
5 = \frac{9 + 20 + 7a + 11b + 60}{40}
5 = \frac{89 + 7a + 11b}{40}

Kalikan kedua sisi dengan 40:
5 \cdot 40 = 89 + 7a + 11b
200 = 89 + 7a + 11b
7a + 11b = 200 - 89
7a + 11b = 111  ...(2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear dengan dua variabel a dan b:
(1) a + b = 28
(2) 7a + 11b = 111

Dari persamaan (1), kita bisa nyatakan a = 28 - b.
Substitusikan nilai a ini ke dalam persamaan (2):
7(28 - b) + 11b = 111
196 - 7b + 11b = 111
196 + 4b = 111
4b = 111 - 196
4b = -85
b = -85 / 4

Nilai b yang diperoleh negatif, yang tidak mungkin untuk sebuah frekuensi. Mari kita periksa kembali apakah ada kesalahan dalam soal atau interpretasi. Jika rataan adalah 5, dan nilai-nilai diameter adalah 3, 5, 7, 11, 12, maka rata-rata yang sangat rendah (5) untuk data yang memiliki nilai 11 dan 12 dengan frekuensi cukup besar (misalnya 5) sangat tidak mungkin tercapai jika frekuensi untuk nilai-nilai yang lebih kecil (3 dan 5) tidak sangat tinggi. Kemungkinan besar ada kesalahan pada nilai rata-rata yang diberikan dalam soal.

Namun, jika kita harus melanjutkan dengan asumsi soal benar, mari kita coba metode lain atau cek ulang perhitungan.

Mari kita kalikan persamaan (1) dengan 7:
7(a + b) = 7 * 28
7a + 7b = 196 ...(3)

Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (2):
(7a + 11b) - (7a + 7b) = 111 - 196
4b = -85
b = -85/4

Tetap sama. Ini menunjukkan bahwa dengan rataan 5, tidak mungkin mendapatkan frekuensi yang non-negatif untuk data ini. Frekuensi harus selalu lebih dari atau sama dengan nol.

**Asumsi Perbaikan Soal:**
Jika kita mengasumsikan bahwa rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata dari nilai-nilai diameter itu sendiri (bukan rata-rata tertimbang), maka perhitungannya akan berbeda, tetapi soal menyebutkan 'rataan' dan 'ukuran data', yang mengindikasikan data berkelompok.

Kemungkinan lain adalah nilai rataannya seharusnya lebih besar. Misalnya, jika rataannya adalah 7.5:
7.5 = (89 + 7a + 11b) / 40
300 = 89 + 7a + 11b
7a + 11b = 211

Dengan a + b = 28 => a = 28 - b
7(28 - b) + 11b = 211
196 - 7b + 11b = 211
196 + 4b = 211
4b = 15
b = 15/4

Jika b = 15/4, maka a = 28 - 15/4 = (112 - 15)/4 = 97/4. Ini masih berupa pecahan, yang jarang terjadi untuk frekuensi dalam soal seperti ini.

**Kesimpulan Mengenai Nilai a dan b:**
Berdasarkan data yang diberikan dan perhitungan matematis, tidak ada nilai frekuensi (a dan b) yang non-negatif dan masuk akal yang dapat menghasilkan rataan 5 dengan jumlah data 40. Ini sangat mungkin disebabkan oleh kesalahan pada nilai rataan yang diberikan dalam soal.

**Jika kita mengabaikan inkonsistensi dan diminta melanjutkan perhitungan ragam dan simpangan baku dengan nilai a dan b yang ditemukan (meskipun negatif), perhitungannya adalah sebagai berikut (namun ini tidak valid secara statistik):**

Dengan asumsi (yang salah secara statistik) bahwa b = -85/4, maka:
a = 28 - b = 28 - (-85/4) = 28 + 85/4 = (112 + 85)/4 = 197/4

Nilai a = 197/4 ≈ 49.25
Nilai b = -85/4 = -21.25

Untuk menghitung ragam (variance, \(\sigma^2\)) dan simpangan baku (standard deviation, \(\sigma\)), kita gunakan rumus:
Ragam \((\sigma^2) = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}\) atau \(\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2\).

Karena nilai a dan b negatif, perhitungan ragam dan simpangan baku tidak akan memberikan hasil yang berarti dalam konteks statistik nyata. Soal ini kemungkinan besar mengandung kesalahan data.