Himpunan penyelesaian dari cos 4x=cos 4/5 pi untuk 0 <= x

Himpunan penyelesaiannya adalah {π/5, 3π/10, 4π/5, 7π/10, 6π/5, 13π/10, 9π/5, 17π/10}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos(4x) = \cos(\frac{4}{5} \pi)$ dengan rentang $0 \le x \le 2 \pi$, kita perlu menggunakan sifat periodisitas dan simetri fungsi kosinus.

Secara umum, jika $\cos(\alpha) = \cos(\beta)$, maka solusinya adalah $\alpha = \pm \beta + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Dalam kasus ini, $\alpha = 4x$ dan $\beta = \frac{4}{5} \pi$.

Jadi, kita punya dua kemungkinan:

1.  $4x = \frac{4}{5} \pi + 2k\pi$
    Bagi kedua sisi dengan 4:
    $x = \frac{1}{5} \pi + \frac{2k\pi}{4}$
    $x = \frac{1}{5} \pi + \frac{k\pi}{2}$

    Sekarang kita cari nilai $x$ dalam rentang $0 \le x \le 2 \pi$ dengan memberikan nilai pada $k$:
    *   Jika $k=0$: $x = \frac{1}{5} \pi + 0 = \frac{1}{5} \pi$
    *   Jika $k=1$: $x = \frac{1}{5} \pi + \frac{1}{2} \pi = \frac{2\pi + 5\pi}{10} = \frac{7}{10} \pi$
    *   Jika $k=2$: $x = \frac{1}{5} \pi + \frac{2}{2} \pi = \frac{1}{5} \pi + \pi = \frac{6}{5} \pi$
    *   Jika $k=3$: $x = \frac{1}{5} \pi + \frac{3}{2} \pi = \frac{2\pi + 15\pi}{10} = \frac{17}{10} \pi$
    *   Jika $k=4$: $x = \frac{1}{5} \pi + \frac{4}{2} \pi = \frac{1}{5} \pi + 2\pi = \frac{11}{5} \pi$ (di luar rentang $0 \le x \le 2 \pi$)

2.  $4x = -\frac{4}{5} \pi + 2k\pi$
    Bagi kedua sisi dengan 4:
    $x = -\frac{1}{5} \pi + \frac{2k\pi}{4}$
    $x = -\frac{1}{5} \pi + \frac{k\pi}{2}$

    Sekarang kita cari nilai $x$ dalam rentang $0 \le x 
le 2 \pi$ dengan memberikan nilai pada $k$:
    *   Jika $k=0$: $x = -\frac{1}{5} \pi + 0 = -\frac{1}{5} \pi$ (di luar rentang $0 \le x \le 2 \pi$)
    *   Jika $k=1$: $x = -\frac{1}{5} \pi + \frac{1}{2} \pi = \frac{-2\pi + 5\pi}{10} = \frac{3}{10} \pi$
    *   Jika $k=2$: $x = -\frac{1}{5} \pi + \frac{2}{2} \pi = -\frac{1}{5} \pi + \pi = \frac{4}{5} \pi$
    *   Jika $k=3$: $x = -\frac{1}{5} \pi + \frac{3}{2} \pi = \frac{-2\pi + 15\pi}{10} = \frac{13}{10} \pi$
    *   Jika $k=4$: $x = -\frac{1}{5} \pi + \frac{4}{2} \pi = -\frac{1}{5} \pi + 2\pi = \frac{9}{5} \pi$
    *   Jika $k=5$: $x = -\frac{1}{5} \pi + \frac{5}{2} \pi = \frac{-2\pi + 25\pi}{10} = \frac{23}{10} \pi$ (di luar rentang $0 \le x \le 2 \pi$)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari semua nilai $x$ yang valid:
$x = \left\{ \frac{1}{5} \pi, \frac{7}{10} \pi, \frac{6}{5} \pi, \frac{17}{10} \pi, \frac{3}{10} \pi, \frac{4}{5} \pi, \frac{13}{10} \pi, \frac{9}{5} \pi \right\}$

Menyusunnya dari yang terkecil:
$x = \left\{ \frac{3}{10} \pi, \frac{1}{5} \pi, \frac{4}{5} \pi, \frac{7}{10} \pi, \frac{6}{5} \pi, \frac{13}{10} \pi, \frac{9}{5} \pi, \frac{17}{10} \pi \right\}$

Perlu diperhatikan bahwa $\frac{1}{5}\pi = \frac{2}{10}\pi$. Jadi urutannya menjadi:
$x = \left\{ \frac{2}{10} \pi, \frac{3}{10} \pi, \frac{4}{5} \pi, \frac{7}{10} \pi, \frac{6}{5} \pi, \frac{13}{10} \pi, \frac{9}{5} \pi, \frac{17}{10} \pi \right\}$

Atau dalam bentuk yang lebih sederhana:
$x = \left\{ \frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{10}, \frac{4\pi}{5}, \frac{7\pi}{10}, \frac{6\pi}{5}, \frac{13\pi}{10}, \frac{9\pi}{5}, \frac{17\pi}{10} \right\}$