Himpunan penyelesaian dari persamaan 4 sin^2 x - 5 sin

{$7\pi/6$, $11\pi/6$}

Pembahasan

Kita diberikan persamaan $4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 \cos^2 x$ untuk $0 \le x \le 2\pi$.

Gunakan identitas trigonometri $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ untuk mengganti $\cos^2 x$:
$4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 (1 - \sin^2 x)$
$4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 - 2 \sin^2 x$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat dalam $\sin x$:
$4 \sin^2 x + 2 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 - 2 = 0$
$6 \sin^2 x - 5 \sin x - 4 = 0$

Misalkan $y = \sin x$. Maka persamaannya menjadi $6y^2 - 5y - 4 = 0$.
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(3y + 2)(2y - 2) = 0$ (Periksa: $6y^2 - 6y + 4y - 4 = 6y^2 - 2y - 4$. Ini salah. Mari kita faktorkan ulang.)

Mari kita gunakan rumus kuadrat untuk $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, dengan $a=6$, $b=-5$, $c=-4$.
$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(6)(-4)}}{2(6)}$
$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{12}$
$y = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{12}$
$y = \frac{5 \pm 11}{12}$

Dua kemungkinan nilai untuk $y$ (yaitu $\sin x$):
$y_1 = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$y_2 = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Karena nilai $\sin x$ harus berada di antara -1 dan 1, maka $\sin x = 4/3$ tidak memiliki solusi.

Kita fokus pada $\sin x = -1/2$.
Dalam interval $0 \le x \le 2\pi$, nilai $\sin x$ adalah -1/2 pada kuadran ketiga dan keempat.
Sudut referensi di mana $\sin \theta = 1/2$ adalah $\pi/6$ (atau 30 derajat).

Di kuadran ketiga, $x = \pi + \pi/6 = 7\pi/6$.
Di kuadran keempat, $x = 2\pi - \pi/6 = 11\pi/6$.

Himpunan penyelesaiannya adalah {$7\pi/6$, $11\pi/6$}.