Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

{5}

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan penyelesaian persamaan logaritma.

Persamaan yang diberikan adalah: 2log(x-3) + 2log(x-1) = 2log(x+3)

Sebelum menyelesaikan, kita perlu menentukan syarat agar logaritma terdefinisi. Argumen logaritma harus positif:
1. x - 3 > 0  => x > 3
2. x - 1 > 0  => x > 1
3. x + 3 > 0  => x > -3

Agar ketiga syarat terpenuhi, maka syarat utama adalah x > 3.

Sekarang kita selesaikan persamaannya menggunakan sifat logaritma: log b + log c = log (b*c)

2log(x-3) + 2log(x-1) = 2log((x-3)(x-1))

Jadi, persamaan menjadi:
2log((x-3)(x-1)) = 2log(x+3)

Karena basis logaritma sama (yaitu 2) dan koefisiennya juga sama, kita bisa menyamakan argumennya:

(x-3)(x-1) = x+3

Sekarang kita ekspansi dan selesaikan persamaan kuadrat:
x^2 - x - 3x + 3 = x + 3

x^2 - 4x + 3 = x + 3

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
x^2 - 4x - x + 3 - 3 = 0

x^2 - 5x = 0

Faktorkan x:
x(x - 5) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua solusi potensial:
x = 0  atau  x - 5 = 0 => x = 5

Sekarang kita harus memeriksa kedua solusi ini terhadap syarat awal (x > 3).

Solusi x = 0:
Syarat x > 3 tidak terpenuhi. Jadi, x = 0 bukan solusi yang valid.

Solusi x = 5:
Syarat x > 3 terpenuhi (5 > 3). Jadi, x = 5 adalah solusi yang valid.

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma tersebut adalah {5}.