Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan polinomial

{x | x ≥ 3} atau [3, ∞)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan polinomial 2x³ - 3x² - 7x - 6 ≥ 0, kita perlu mencari akar-akar dari polinomial tersebut terlebih dahulu.

Misalkan P(x) = 2x³ - 3x² - 7x - 6.
Kita bisa mencoba mencari akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional, yang menyatakan bahwa jika P(x) memiliki akar rasional p/q, maka p adalah faktor dari konstanta (-6) dan q adalah faktor dari koefisien utama (2).

Faktor dari -6: ±1, ±2, ±3, ±6
Faktor dari 2: ±1, ±2

Kemungkinan akar rasional (p/q): ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2.

Mari kita coba beberapa nilai:
P(1) = 2(1)³ - 3(1)² - 7(1) - 6 = 2 - 3 - 7 - 6 = -14
P(-1) = 2(-1)³ - 3(-1)² - 7(-1) - 6 = -2 - 3 + 7 - 6 = -4
P(2) = 2(2)³ - 3(2)² - 7(2) - 6 = 16 - 12 - 14 - 6 = -16
P(-2) = 2(-2)³ - 3(-2)² - 7(-2) - 6 = -16 - 12 + 14 - 6 = -20
P(3) = 2(3)³ - 3(3)² - 7(3) - 6 = 54 - 27 - 21 - 6 = 0

Karena P(3) = 0, maka x=3 adalah salah satu akar.
Ini berarti (x-3) adalah faktor dari P(x).

Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau metode Horner untuk mencari faktor lainnya:

Menggunakan metode Horner dengan akar 3:

   | 2  -3  -7  -6
3  |     6   9   6
   ----------------
     2   3   2   0

Hasil pembagiannya adalah 2x² + 3x + 2.

Jadi, P(x) = (x-3)(2x² + 3x + 2).

Sekarang kita perlu mencari akar dari 2x² + 3x + 2 = 0.
Kita gunakan diskriminan (D = b² - 4ac):
D = (3)² - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7.

Karena diskriminannya negatif (D < 0) dan koefisien x² positif (2 > 0), maka nilai 2x² + 3x + 2 selalu positif untuk semua nilai x.

Dengan demikian, pertidaksamaan 2x³ - 3x² - 7x - 6 ≥ 0 menjadi (x-3)(2x² + 3x + 2) ≥ 0.
Karena (2x² + 3x + 2) selalu positif, maka kita hanya perlu memperhatikan (x-3) ≥ 0.

x - 3 ≥ 0
x ≥ 3.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan polinomial 2x³ - 3x² - 7x - 6 ≥ 0 adalah {x | x ≥ 3} atau dalam notasi interval [3, ∞).