Jika n bilangan bulat, maka (3^n+4.8^n-4)

Ekspresi tidak dapat disederhanakan lebih lanjut tanpa nilai n atau klarifikasi soal.

Pembahasan

Soal ini melibatkan penyederhanaan ekspresi aljabar dengan eksponen.

Diketahui ekspresi: (3^n + 4 * 8^n - 4) / (3^(n+2) * 8^(n-3))

Ditanya:
Bentuk sederhana dari ekspresi tersebut.

Langkah penyelesaian:
Kita akan menyederhanakan pembilang dan penyebut secara terpisah terlebih dahulu, lalu membaginya.

Pembilang: 3^n + 4 * 8^n - 4
Ini sudah dalam bentuk yang cukup sederhana, tidak ada suku sejenis yang bisa digabungkan.

Penyebut: 3^(n+2) * 8^(n-3)
Gunakan sifat eksponen a^(m+n) = a^m * a^n dan a^(m-n) = a^m / a^n
Penyebut = (3^n * 3^2) * (8^n / 8^3)
Penyebut = (3^n * 9) * (8^n / 512)
Penyebut = (9 * 3^n * 8^n) / 512
Penyebut = (9 * (3*8)^n) / 512
Penyebut = (9 * 24^n) / 512

Sekarang kita bagi pembilang dengan penyebut:
Ekspresi = (3^n + 4 * 8^n - 4) / ((9 * 24^n) / 512)
Ekspresi = 512 * (3^n + 4 * 8^n - 4) / (9 * 24^n)

Ekspresi ini tampaknya tidak bisa disederhanakan lebih lanjut menjadi bentuk yang jauh lebih ringkas tanpa informasi tambahan tentang nilai 'n' atau jika ada kesalahan dalam penulisan soalnya. Jika soalnya dimaksudkan untuk disederhanakan dengan cara yang lebih umum, mungkin ada identitas atau trik tertentu yang terlewat. 

Namun, jika kita mengasumsikan ada kesalahan penulisan dan pembilangnya adalah bentuk yang berhubungan dengan penyebutnya, atau jika kita diminta menyederhanakan bagian-bagian tertentu:

Mari kita coba ubah bentuk pembilang agar mirip dengan penyebut:
3^n + 4 * 8^n - 4
Tidak ada cara langsung untuk menyederhanakan ini dengan (9 * 24^n) / 512.

Jika kita menginterpretasikan soal ini sebagai sebuah ekspresi yang perlu dihitung jika n diketahui, maka kita memerlukan nilai n. Jika ini adalah soal pilihan ganda dan ada pilihan jawaban yang spesifik, itu bisa membantu mengarahkan penyederhanaan.

Asumsi lain: Mungkin ada typo dan pembilangnya adalah (3^n * 8^(n-3)) atau sejenisnya. Tapi berdasarkan soal yang diberikan:

(3^n + 4 * 8^n - 4) / (3^(n+2) * 8^(n-3))
= (3^n + 4 * 8^n - 4) / (9 * 3^n * 8^n / 512)
= 512 * (3^n + 4 * 8^n - 4) / (9 * 24^n)

Tanpa nilai spesifik untuk n, ekspresi ini tidak dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi satu angka atau bentuk yang jauh lebih sederhana. 

Jika kita harus memberikan jawaban dalam bentuk yang paling mungkin disederhanakan:
Kita bisa memisahkan suku di pembilang:
= [3^n / (3^(n+2) * 8^(n-3))] + [4 * 8^n / (3^(n+2) * 8^(n-3))] - [4 / (3^(n+2) * 8^(n-3))]

Suku pertama:
3^n / (3^(n+2) * 8^(n-3))
= 3^n / (3^n * 3^2 * 8^n / 8^3)
= 1 / (9 * 8^n / 512)
= 512 / (9 * 8^n)

Suku kedua:
4 * 8^n / (3^(n+2) * 8^(n-3))
= 4 * 8^n / (9 * 3^n * 8^n / 512)
= (4 * 512 * 8^n) / (9 * 3^n * 8^n)
= (2048 * 8^n) / (9 * 3^n * 8^n)
= 2048 / (9 * 3^n)

Suku ketiga:
4 / (3^(n+2) * 8^(n-3))
= 4 / (9 * 3^n * 8^n / 512)
= (4 * 512) / (9 * 3^n * 8^n)
= 2048 / (9 * 24^n)

Jadi, ekspresi lengkapnya adalah:
512 / (9 * 8^n) + 2048 / (9 * 3^n) - 2048 / (9 * 24^n)

Ini masih sangat kompleks. Kemungkinan besar soal ini memerlukan nilai 'n' atau ada kesalahan ketik pada soal aslinya. Jika harus memilih jawaban yang paling mungkin mengarah pada penyederhanaan, seringkali pembilang akan memiliki faktor yang sama dengan penyebut.

Misalkan jika pembilangnya adalah (3^n * 8^n), maka:
(3^n * 8^n) / (3^(n+2) * 8^(n-3))
= 24^n / (9 * 3^n * 8^n / 512)
= 24^n / (9 * 24^n / 512)
= 512 / 9

Jika pembilangnya adalah (3^(n+2) * 8^(n-3)), maka hasilnya adalah 1.

Namun, berdasarkan soal yang tertulis, jawaban paling sederhana yang bisa didapatkan adalah bentuk yang sudah dipisah suku-sukunya seperti di atas, atau mempertahankan bentuk gabungannya. Karena tidak ada indikasi nilai n, dan bentuknya tidak mudah disederhanakan secara aljabar tanpa manipulasi lebih lanjut yang tidak jelas tujuannya, kita tidak bisa memberikan satu nilai numerik atau ekspresi yang lebih sederhana tanpa asumsi tambahan atau klarifikasi soal.