Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan p+q+r=12,

Rasio p : q : r adalah 1 : 2 : 3.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:
1. p + q + r = 12
2. 2p - q + 2r = 12
3. 3p + 2q - r = 8

Untuk mencari rasio p : q : r, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan ini untuk menemukan nilai p, q, dan r.

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel. Mari kita eliminasi q.
Tambahkan persamaan (1) dan (2):
(p + q + r) + (2p - q + 2r) = 12 + 12
3p + 3r = 24
Bagi dengan 3: p + r = 8  (Persamaan 4)

Kalikan persamaan (1) dengan 2 dan tambahkan ke persamaan (3):
2(p + q + r) = 2(12) => 2p + 2q + 2r = 24
(2p + 2q + 2r) + (3p + 2q - r) = 24 + 8
5p + q + r = 32 (Ini tidak mengeliminasi q, mari coba cara lain)

Kalikan persamaan (2) dengan 2 dan tambahkan ke persamaan (3):
2(2p - q + 2r) = 2(12) => 4p - 2q + 4r = 24
(4p - 2q + 4r) + (3p + 2q - r) = 24 + 8
7p + 3r = 32 (Persamaan 5)

Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan baru yang terdiri dari Persamaan (4) dan (5).
Dari Persamaan (4): p = 8 - r
Substitusikan ke Persamaan (5):
7(8 - r) + 3r = 32
56 - 7r + 3r = 32
56 - 4r = 32
4r = 56 - 32
4r = 24
r = 6

Substitusikan nilai r = 6 kembali ke Persamaan (4):
p + 6 = 8
p = 8 - 6
p = 2

Langkah 3: Substitusikan nilai p dan r ke salah satu persamaan awal untuk mencari q. Gunakan Persamaan (1):
p + q + r = 12
2 + q + 6 = 12
8 + q = 12
q = 12 - 8
q = 4

Jadi, solusi sistem persamaan adalah p = 2, q = 4, dan r = 6.

Langkah 4: Tentukan rasio p : q : r.
p : q : r = 2 : 4 : 6
Sederhanakan rasio dengan membagi setiap angka dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) yaitu 2:
2/2 : 4/2 : 6/2 = 1 : 2 : 3

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan p+q+r=12, 2p-q+2r=12, 3p+2q-r=8 adalah {(2, 4, 6)}. Rasio p : q : r adalah 1 : 2 : 3.