Himpunan penyelesaian persamaan 2^(x^2+x-2)=16^(x+2)

Himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {-2, 5}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial 2^(x^2+x-2) = 16^(x+2), kita perlu menyamakan basis kedua sisi persamaan.

Diketahui:
2^(x^2+x-2) = 16^(x+2)

Kita tahu bahwa 16 dapat dinyatakan sebagai 2 pangkat 4 (16 = 2^4).
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
2^(x^2+x-2) = (2^4)^(x+2)

Gunakan sifat eksponen (a^m)^n = a^(m*n):
2^(x^2+x-2) = 2^(4 * (x+2))
2^(x^2+x-2) = 2^(4x+8)

Karena basisnya sudah sama (yaitu 2), kita dapat menyamakan eksponennya:
x^2 + x - 2 = 4x + 8

Sekarang, pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
x^2 + x - 4x - 2 - 8 = 0
x^2 - 3x - 10 = 0

Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan dengan cara faktorisasi atau menggunakan rumus kuadrat.

**Faktorisasi:**
Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -10 dan jika dijumlahkan menghasilkan -3. Bilangan-bilangan tersebut adalah -5 dan 2.
(-5) * 2 = -10
(-5) + 2 = -3

Jadi, persamaan dapat difaktorkan menjadi:
(x - 5)(x + 2) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk x:
x - 5 = 0  =>  x = 5
x + 2 = 0  =>  x = -2

**Menggunakan Rumus Kuadrat (jika faktorisasi sulit):**
Untuk persamaan ax^2 + bx + c = 0, rumus kuadrat adalah x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a.
Dalam kasus ini, a = 1, b = -3, c = -10.

x = [-(-3) ± sqrt((-3)^2 - 4(1)(-10))] / 2(1)
x = [3 ± sqrt(9 + 40)] / 2
x = [3 ± sqrt(49)] / 2
x = [3 ± 7] / 2

Dua solusi:
x1 = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5
x2 = (3 - 7) / 2 = -4 / 2 = -2

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 2^(x^2+x-2) = 16^(x+2) adalah { -2, 5 }.