Himpunan penyelesaian persamaan 4 sin^2 x-5 sin x-2=2 cos^2

Himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 \cos^2 x$ pada interval $0 \le x \le 2\pi$, kita perlu mengubah semua fungsi trigonometri menjadi satu jenis fungsi, yaitu $\sin x$. Kita tahu identitas $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
$4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 (1 - \sin^2 x)$
$4 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 2 - 2 \sin^2 x$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat dalam $\sin x$:
$4 \sin^2 x + 2 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 - 2 = 0$
$6 \sin^2 x - 5 \sin x - 4 = 0$

Misalkan $u = \sin x$. Persamaan menjadi:
$6u^2 - 5u - 4 = 0$

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$(3u - 4)(2u + 1) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $u$:
1. $3u - 4 = 0 \implies u = \frac{4}{3}$
2. $2u + 1 = 0 \implies u = -\frac{1}{2}$

Karena $u = \sin x$, kita punya:
1. $\sin x = \frac{4}{3}$
   Nilai $\sin x$ tidak mungkin lebih dari 1 atau kurang dari -1. Jadi, $\sin x = \frac{4}{3}$ tidak memiliki solusi.

2. $\sin x = -\frac{1}{2}$
   Kita perlu mencari sudut $x$ dalam interval $0 \le x \le 2\pi$ di mana $\sin x = -1/2$. Fungsi $\sin x$ bernilai negatif di kuadran III dan IV.
   Sudut referensi di mana $\sin \theta = 1/2$ adalah $\frac{\pi}{6}$ (atau 30 derajat).

   - Di kuadran III, sudutnya adalah $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
   - Di kuadran IV, sudutnya adalah $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$}.

**Ringkasan Jawaban:**
Himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$}.