Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x+cos x=0, (0<=x<=2

Himpunan penyelesaiannya adalah {π/3, π, 5π/3}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos 2x + \cos x = 0$ dalam interval $0 \le x \le 2\pi$, kita bisa menggunakan identitas trigonometri untuk $\cos 2x$. Salah satu identitasnya adalah $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Mengganti identitas ini ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan:
$$(2\cos^2 x - 1) + \cos x = 0$$ 
Menyusun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam $\cos x$:
$$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$ 
Misalkan $y = \cos x$. Persamaan menjadi:
$$2y^2 + y - 1 = 0$$ 
Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$$(2y - 1)(y + 1) = 0$$ 
Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$:
$$2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2}$$ 
$$y + 1 = 0 \implies y = -1$$ 
Sekarang, kita substitusikan kembali $y = \cos x$:
$$\cos x = \frac{1}{2}$$ 
$$\cos x = -1$$ 
Untuk $\cos x = \frac{1}{2}$ dalam interval $0 \le x \le 2\pi$, solusi umumnya adalah $x = \frac{\pi}{3}$ dan $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
Untuk $\cos x = -1$ dalam interval $0 \le x \le 2\pi$, solusi umumnya adalah $x = \pi$.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3} \right\}$.