Kelas 12Kelas 11mathGeometri Dimensi Dua Dan Tiga
Diketahui balok ABCD. EFGH dengan panjang AB=AD=10 cm dan
Pertanyaan
Diketahui balok ABCD. EFGH dengan panjang AB=AD=10 cm dan AE = 5 cm. Jika alpha adalah sudut antara bidang BDE dan BDG , tentukan nilai sin alpha.
Solusi
Verified
sin alpha = 2/sqrt(5)
Pembahasan
Untuk menentukan nilai sin alpha, kita perlu mencari terlebih dahulu panjang diagonal sisi dan diagonal ruang dari balok ABCD. EFGH. Diketahui: Panjang AB = 10 cm Panjang AD = 10 cm Panjang AE = 5 cm 1. Panjang diagonal sisi: BD^2 = AB^2 + AD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200 BD = sqrt(200) = 10 * sqrt(2) cm BG^2 = BC^2 + CG^2 = AD^2 + AE^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125 BG = sqrt(125) = 5 * sqrt(5) cm DE^2 = AD^2 + AE^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125 DE = sqrt(125) = 5 * sqrt(5) cm 2. Bidang BDE dibentuk oleh titik B, D, dan E. Bidang BDG dibentuk oleh titik B, D, dan G. Kita perlu mencari sudut antara kedua bidang ini. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut pada satu titik. Garis potong kedua bidang adalah BD. 3. Untuk mencari sudut alpha, kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga yang dibentuk oleh titik-titik yang relevan. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan vektor. Kita bisa mencari vektor normal dari masing-masing bidang, lalu mencari sudut di antara kedua vektor normal tersebut. Misalkan B berada di (0, 0, 0). Maka: A = (10, 0, 0) D = (0, 10, 0) C = (10, 10, 0) G = (10, 10, 5) E = (0, 0, 5) Vektor BD = D - B = (0, 10, 0) Vektor BE = E - B = (0, 0, 5) Vektor BG = G - B = (10, 10, 5) Untuk bidang BDE, vektor normal n1 = BD x BE n1 = (0, 10, 0) x (0, 0, 5) = (50, 0, 0) Untuk bidang BDG, kita perlu mencari vektor lain yang tegak lurus BD pada bidang BDG. Kita bisa gunakan vektor DG. Vektor DG = G - D = (10, 10, 5) - (0, 10, 0) = (10, 0, 5) Vektor normal n2 = BD x DG n2 = (0, 10, 0) x (10, 0, 5) = (50, 0, -100) Sekarang kita cari sudut alpha antara n1 dan n2 menggunakan dot product: n1 . n2 = |n1| |n2| cos(alpha) (50, 0, 0) . (50, 0, -100) = sqrt(50^2) * sqrt(50^2 + (-100)^2) * cos(alpha) 2500 = 50 * sqrt(2500 + 10000) * cos(alpha) 2500 = 50 * sqrt(12500) * cos(alpha) 2500 = 50 * sqrt(2500 * 5) * cos(alpha) 2500 = 50 * 50 * sqrt(5) * cos(alpha) 2500 = 2500 * sqrt(5) * cos(alpha) cos(alpha) = 1 / sqrt(5) Jika cos(alpha) = 1/sqrt(5), maka kita bisa mencari sin(alpha) menggunakan identitas sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1. sin^2(alpha) = 1 - cos^2(alpha) sin^2(alpha) = 1 - (1/sqrt(5))^2 sin^2(alpha) = 1 - 1/5 sin^2(alpha) = 4/5 sin(alpha) = sqrt(4/5) = 2 / sqrt(5) sin(alpha) = (2 * sqrt(5)) / 5
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Geometri, Trigonometri
Section: Sudut Antar Bidang
Apakah jawaban ini membantu?