Himpunan penyelesaian pertidak-samaan 2log(x-2)<=log(2x-1)

$$(2, 5]$$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma $$2\log(x-2) \le \log(2x-1)$$, kita perlu memperhatikan syarat numerus (argumen logaritma) yang harus positif dan kemudian menyelesaikan pertidaksamaannya.

1. Syarat Numerus:
   a. $$x - 2 > 0$$  => $$x > 2$$
   b. $$2x - 1 > 0$$ => $$2x > 1$$ => $$x > 1/2$$
   Agar kedua syarat terpenuhi, maka $$x > 2$$

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan:
   $$2\log(x-2) \le \log(2x-1)$$
   Gunakan sifat logaritma $$n \log a = \log a^n$$, sehingga:
   $$\log(x-2)^2 \le \log(2x-1)$$
   Karena basis logaritma (diasumsikan basis 10 atau basis > 1) sama dan fungsi logaritma adalah fungsi naik, maka kita bisa menghilangkan logaritma:
   $$(x-2)^2 \le 2x-1$$
   $$x^2 - 4x + 4 \le 2x - 1$$
   $$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 \le 0$$
   $$x^2 - 6x + 5 \le 0$$
   Faktorkan pertidaksamaan kuadrat:
   $$(x-1)(x-5) \le 0$$
   Nilai x yang memenuhi adalah $$1 \le x \le 5$$

3. Menggabungkan Syarat Numerus dan Hasil Pertidaksamaan:
   Syarat numerus adalah $$x > 2$$, sedangkan hasil pertidaksamaan adalah $$1 \le x \le 5$$.
   Irisan dari kedua kondisi ini adalah $$2 < x \le 5$$

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $$(2, 5]$$ atau $$\left\{x \mid 2 < x \le 5, x \in \mathbb{R}\right\}$$