Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3/x<x-2 adalah ....

Himpunan penyelesaiannya adalah $(-1, 0) \cup (3, \infty)$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{3}{x} < x - 2$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi agar pertidaksamaan menjadi nol, lalu mencari akar-akarnya dan mengujinya pada interval yang terbentuk.

Langkah 1: Pindahkan semua suku ke satu sisi.
$\frac{3}{x} - (x - 2) < 0$
$\frac{3}{x} - x + 2 < 0$

Langkah 2: Samakan penyebut untuk menggabungkan suku-suku.
$\frac{3}{x} - \frac{x \cdot x}{x} + \frac{2 \cdot x}{x} < 0$
$\frac{3 - x^2 + 2x}{x} < 0$
$\frac{-x^2 + 2x + 3}{x} < 0$

Untuk mempermudah, kita bisa mengalikan pembilang dengan -1 dan membalik tanda pertidaksamaan. Ingat bahwa mengalikan dengan bilangan negatif akan membalik arah tanda pertidaksamaan.
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x} > 0$

Langkah 3: Faktorkan pembilang.
Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -3 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -3 dan 1.
Jadi, $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.

Pertidaksamaan menjadi:
$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x} > 0$

Langkah 4: Tentukan akar-akar dari pembilang dan penyebut.
Akar-akar dari pembilang adalah ketika $(x - 3)(x + 1) = 0$, yaitu $x = 3$ dan $x = -1$.
Akar dari penyebut adalah ketika $x = 0$.

Titik-titik kritis ini membagi garis bilangan menjadi empat interval:
(-∞, -1), (-1, 0), (0, 3), (3, ∞)

Langkah 5: Uji setiap interval untuk menentukan di mana pertidaksamaan bernilai benar.
Kita perlu menguji tanda dari $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x}$ pada setiap interval.

Interval 1: $x < -1$ (misal, x = -2)
$\frac{(-2 - 3)(-2 + 1)}{-2} = \frac{(-5)(-1)}{-2} = \frac{5}{-2} = -2.5$
Nilai < 0. Jadi, interval ini TIDAK memenuhi $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x} > 0$.

Interval 2: $-1 < x < 0$ (misal, x = -0.5)
$\frac{(-0.5 - 3)(-0.5 + 1)}{-0.5} = \frac{(-3.5)(0.5)}{-0.5} = \frac{-1.75}{-0.5} = 3.5$
Nilai > 0. Jadi, interval ini MEMENUHI $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x} > 0$.

Interval 3: $0 < x < 3$ (misal, x = 1)
$\frac{(1 - 3)(1 + 1)}{1} = \frac{(-2)(2)}{1} = \frac{-4}{1} = -4$
Nilai < 0. Jadi, interval ini TIDAK memenuhi $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x} > 0$.

Interval 4: $x > 3$ (misal, x = 4)
$\frac{(4 - 3)(4 + 1)}{4} = \frac{(1)(5)}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$
Nilai > 0. Jadi, interval ini MEMENUHI $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x} > 0$.

Karena penyebut tidak boleh nol (x ≠ 0), maka nilai x=0 tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.
Akar dari pembilang (x=-1 dan x=3) karena tanda pertidaksamaan adalah '>', maka nilai-nilai ini tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.

Himpunan penyelesaiannya adalah interval di mana nilainya positif, yaitu $-1 < x < 0$ atau $x > 3$.

Dalam notasi interval: $(-1, 0) \cup (3, \infty)$.