Himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar(4x-3)<x, dengan x

Himpunan penyelesaiannya adalah [3/4, 1) ∪ (3, ∞).

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan akar(4x-3) < x, dengan x ∈ R.

Langkah 1: Tentukan syarat agar akar terdefinisi.
Agar akar kuadrat terdefinisi, ekspresi di dalam akar harus non-negatif:
4x - 3 ≥ 0
4x ≥ 3
x ≥ 3/4

Langkah 2: Selesaikan pertidaksamaan dengan mempertimbangkan dua kasus untuk x.

Kasus 1: x < 0
Jika x < 0, maka ruas kanan pertidaksamaan (x) bernilai negatif. Akar kuadrat selalu non-negatif. Oleh karena itu, akar(4x-3) < x tidak mungkin terjadi jika x < 0, karena bilangan non-negatif tidak bisa lebih kecil dari bilangan negatif.

Kasus 2: x ≥ 0
Jika x ≥ 0, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan:
(akar(4x-3))^2 < x^2
4x - 3 < x^2
0 < x^2 - 4x + 3

Sekarang, kita faktorkan pertidaksamaan kuadrat:
0 < (x - 1)(x - 3)

Untuk mencari nilai x yang memenuhi (x - 1)(x - 3) > 0, kita cari akar-akarnya yaitu x = 1 dan x = 3. Pertidaksamaan ini bernilai positif ketika x < 1 atau x > 3.

Langkah 3: Gabungkan semua syarat.
Kita memiliki syarat dari definisi akar: x ≥ 3/4.
Kita juga memiliki syarat dari Kasus 2 (karena kita mengasumsikan x ≥ 0, yang sudah tercakup dalam x ≥ 3/4): x < 1 atau x > 3.

Sekarang kita cari irisan dari kedua kondisi tersebut:
Kondisi 1: x ≥ 3/4
Kondisi 2: (x < 1 atau x > 3)

Irisan dari [3/4, ∞) dengan (-∞, 1) ∪ (3, ∞) adalah:
[3/4, 1) ∪ (3, ∞)

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar(4x-3) < x adalah {x | 3/4 ≤ x < 1 atau x > 3}.