Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x/(x-2)<=|x| adalah

B. {x|x<2 atau x>=3}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x}{x-2} \leq |x|$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan tanda dari $|x|$:

Kasus 1: $x \geq 0$
Dalam kasus ini, $|x| = x$. Pertidaksamaan menjadi $\frac{x}{x-2} \leq x$.
Kita pindahkan semua suku ke satu sisi: $\frac{x}{x-2} - x \leq 0$
Samakan penyebutnya: $\frac{x - x(x-2)}{x-2} \leq 0$
$\frac{x - x^2 + 2x}{x-2} \leq 0$
$\frac{3x - x^2}{x-2} \leq 0$
$\frac{x(3-x)}{x-2} \leq 0$

Kita gunakan garis bilangan dengan titik kritis di $x=0$, $x=2$, dan $x=3$. Uji interval:
- Jika $x < 0$: $\frac{(-)(+)}{(-)} = (+) > 0$ (tidak memenuhi)
- Jika $0 \leq x < 2$: $\frac{(+)(+)}{(-)} = (-) \leq 0$ (memenuhi)
- Jika $2 < x \leq 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (tidak memenuhi)
- Jika $x > 3$: $\frac{(+)(-)}{(+)} = (-) \leq 0$ (memenuhi)

Jadi, untuk kasus $x \geq 0$, solusinya adalah $0 \leq x < 2$ atau $x \geq 3$.

Kasus 2: $x < 0$
Dalam kasus ini, $|x| = -x$. Pertidaksamaan menjadi $\frac{x}{x-2} \leq -x$.
Kita pindahkan semua suku ke satu sisi: $\frac{x}{x-2} + x \leq 0$
Samakan penyebutnya: $\frac{x + x(x-2)}{x-2} \leq 0$
$\frac{x + x^2 - 2x}{x-2} \leq 0$
$\frac{x^2 - x}{x-2} \leq 0$
$\frac{x(x-1)}{x-2} \leq 0$

Kita gunakan garis bilangan dengan titik kritis di $x=0$, $x=1$, dan $x=2$. Uji interval:
- Jika $x < 0$: $\frac{(-)(-)}{(-)} = (-) \leq 0$ (memenuhi)
- Jika $0 \leq x < 1$: $\frac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$ (tidak memenuhi)
- Jika $1 \leq x < 2$: $\frac{(+)(+)}{(-)} = (-) \leq 0$ (memenuhi)
- Jika $x > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (tidak memenuhi)

Jadi, untuk kasus $x < 0$, solusinya adalah $x < 0$ atau $1 \leq x < 2$.

Gabungkan kedua kasus:
Dari Kasus 1: $0 \leq x < 2$ atau $x \geq 3$
Dari Kasus 2: $x < 0$ atau $1 \leq x < 2$

Ketika digabungkan, kita mendapatkan: $x < 0$ atau $0 \leq x < 2$ menjadi $x < 2$. Kemudian kita gabungkan dengan $1 \leq x < 2$, yang tetap menghasilkan $x < 2$. Terakhir, gabungkan dengan $x \geq 3$. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x < 2$ atau $x \geq 3$. 
Namun, ada kesalahan dalam analisis awal. Mari kita tinjau kembali penggabungan intervalnya:
Kasus 1 ($x 
less 0$): $0 
less x 
less 2$ atau $x 
less 3$. Interval yang memenuhi adalah $[0, 2) igcup [3, 
egex)$.
Kasus 2 ($x < 0$): $x < 0$ atau $[1, 2)$. Interval yang memenuhi adalah $(-
egex, 0) igcup [1, 2)$.

Menggabungkan kedua kasus:
$(-
egex, 0) igcup [0, 2) igcup [1, 2) igcup [3, 
egex)$
$(-
egex, 0) igcup [0, 2)$ menghasilkan $(-
egex, 2)$.
Kemudian, $(-
egex, 2) igcup [1, 2)$ masih tetap $(-
egex, 2)$.
Terakhir, $(-
egex, 2) igcup [3, 
egex)$.

Mari kita periksa pilihan jawaban. Pilihan yang paling mendekati adalah yang mengikutsertakan interval negatif dan positif. Mari kita cek ulang pemecahan pertidaksamaan $\frac{x(3-x)}{x-2} \leq 0$ untuk $x \geq 0$ dan $\frac{x(x-1)}{x-2} \leq 0$ untuk $x < 0$. 

Untuk $\frac{x(3-x)}{x-2} \leq 0$, titik kritis adalah 0, 2, 3. Uji interval:
x<0: +/-
0<x<2: +/-
2<x<3: +/+
>3: -/+
Interval yang memenuhi adalah $(-
egex, 0] igcup (2, 3]$. Karena kita membatasi untuk $x 
less 0$, maka $[0, 2) igcup [3, 
egex)$.

Untuk $\frac{x(x-1)}{x-2} \leq 0$, titik kritis adalah 0, 1, 2. Uji interval:
x<0: -/-
0<x<1: +/-
1<x<2: +/+
>2: +/+
Interval yang memenuhi adalah $(-
egex, 0] igcup [1, 2)$. Karena kita membatasi untuk $x < 0$, maka $(-
egex, 0)$.

Menggabungkan kedua solusi: $(-
egex, 0) igcup [0, 2) igcup [3, 
egex)$.
Ini menyederhanakan menjadi $(-
egex, 2) igcup [3, 
egex)$.

Sekarang mari kita cek ulang pilihan jawaban yang diberikan:
A. {x|x<=1 atau x>=3}
B. {x|x<2 atau x>=3}
C. {x|0<=x<=2 atau x>=3}
D. {x|x<=0 atau 2<x<=3}
E. {x|x<0 atau 0<x<2 atau x>=3}

Pilihan B, {x|x<2 atau x>=3}, paling cocok dengan hasil $(-
egex, 2) igcup [3, 
egex)$. Kita perlu memastikan apakah batas $x=0$ dan $x=1$ tertangani dengan benar. 

Jika $x=0$, $\frac{0}{0-2} 
less |0|$, $0 
less 0$, ini salah. Jadi $x=0$ tidak termasuk.
Jika $x=1$, $\frac{1}{1-2} 
less |1|$, $-1 
less 1$, ini benar. Jadi $x=1$ termasuk.
Jika $x=3$, $\frac{3}{3-2} 
less |3|$, $3 
less 3$, ini salah. Jadi $x=3$ tidak termasuk.

Revisi analisis:
Kasus 1: $x 
less 0 
ightarrow \frac{x(3-x)}{x-2} \leq 0$. Solusi: $[0, 2) igcup [3, 
egex)$. Titik $x=0$ tidak memenuhi karena pembagian dengan nol jika $x=2$ dan pada $x=3$ $\frac{3(0)}{1} = 0 \leq 3$ benar. Jadi $[0, 2) igcup [3, 
egex)$.

Kasus 2: $x < 0 
ightarrow \frac{x(x-1)}{x-2} \leq 0$. Solusi: $(-
egex, 0) igcup [1, 2)$.

Gabungan: $(-
egex, 0) igcup [0, 2) igcup [1, 2) igcup [3, 
egex)$.
Ini menjadi $(-
egex, 2) igcup [3, 
egex)$.

Periksa lagi batasnya:
Jika $x=2$, penyebutnya 0, jadi $x 
less 2$.
Jika $x=3$, $\frac{3}{3-2} = 3$. $|3| = 3$. $3 
less 3$ salah. Jadi $x 
less 3$.

Hasilnya seharusnya $(-
egex, 2) igcup (3, 
egex)$.

Mari kita coba pilihan B lagi: {x|x<2 atau x>=3}. Jika $x=3$, maka $\frac{3}{3-2} = 3$, $|3|=3$. $3 \leq 3$, ini benar. Jadi $x=3$ seharusnya masuk. Mengapa analisis sebelumnya salah?

Pada $\frac{x(3-x)}{x-2} \leq 0$, titik $x=3$ membuat pembilang 0, sehingga hasilnya 0. Karena $0 
less 0$ benar, maka $x=3$ seharusnya termasuk dalam solusi kasus 1. Jadi, solusi kasus 1 adalah $[0, 2) igcup [3, 
egex)$.

Menggabungkan solusi Kasus 1 ($[0, 2) igcup [3, 
egex)$) dan Kasus 2 ($(-
egex, 0) igcup [1, 2)$):
$(-
egex, 0) igcup [0, 2) igcup [1, 2) igcup [3, 
egex)$.
Ini menyederhanakan menjadi $(-
egex, 2) igcup [3, 
egex)$.

Pilihan B adalah {x|x<2 atau x>=3}. Ini persis sama dengan $(-
egex, 2) igcup [3, 
egex)$.

Jawaban yang benar adalah B.