Hitunglah limit berikut! limit x -> tak hingga x^2 (cos

-1/2

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to \infty} x^2 (\cos \frac{1}{x}-1)$, kita bisa menggunakan substitusi. Misalkan $y = \frac{1}{x}$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.

Limit tersebut menjadi:
$\lim_{y \to 0} (\frac{1}{y})^2 (\cos y - 1)$
$= \lim_{y \to 0} \frac{\cos y - 1}{y^2}$

Kita bisa menggunakan ekspansi deret Taylor untuk $\cos y$ di sekitar $y=0$, yaitu $\cos y = 1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - ...$

Maka:
$\lim_{y \to 0} \frac{(1 - \frac{y^2}{2} + O(y^4)) - 1}{y^2}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{-\frac{y^2}{2} + O(y^4)}{y^2}$
$= \lim_{y \to 0} (-\frac{1}{2} + O(y^2))$
$= -\frac{1}{2}$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -1/2.