Hitunglah: limit x->0 (x+sin3x)/(x-sin2x)

-4

Pembahasan

Untuk menghitung limit x mendekati 0 dari (x + sin(3x)) / (x - sin(2x)), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau membagi pembilang dan penyebut dengan x.

Menggunakan Aturan L'Hopital (karena substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0):
Turunan dari pembilang (x + sin(3x)) adalah 1 + 3cos(3x).
Turunan dari penyebut (x - sin(2x)) adalah 1 - 2cos(2x).

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->0) [ (1 + 3cos(3x)) / (1 - 2cos(2x)) ]
Substitusikan x = 0:
(1 + 3cos(0)) / (1 - 2cos(0))
Karena cos(0) = 1:
(1 + 3*1) / (1 - 2*1)
(1 + 3) / (1 - 2)
4 / (-1)
= -4

Metode lain: Membagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim (x->0) [ (x/x + sin(3x)/x) / (x/x - sin(2x)/x) ]
lim (x->0) [ 1 + (sin(3x)/x) / 1 - (sin(2x)/x) ]
Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(ax)/x = a.
Jadi, lim (x->0) sin(3x)/x = 3 dan lim (x->0) sin(2x)/x = 2.

Substitusikan nilai limit ini:
(1 + 3) / (1 - 2)
4 / (-1)
= -4

Jadi, hasil limitnya adalah -4.