Hitunglah nilai dari 1/(akar(1) + akar(2)) + 1/(akar(2) +

6

Pembahasan

Soal ini melibatkan penjumlahan deret dengan bentuk "rationalizing the denominator". Mari kita rasionalkan penyebut setiap suku terlebih dahulu:
Suku pertama: 1/(akar(1) + akar(2)) = 1/(1 + akar(2)) * (1 - akar(2))/(1 - akar(2)) = (1 - akar(2))/(1 - 2) = (1 - akar(2))/(-1) = akar(2) - 1
Suku kedua: 1/(akar(2) + akar(3)) = 1/(akar(2) + akar(3)) * (akar(3) - akar(2))/(akar(3) - akar(2)) = (akar(3) - akar(2))/(3 - 2) = akar(3) - akar(2)
Suku ketiga: 1/(akar(3) + akar(4)) = 1/(akar(3) + 2) * (2 - akar(3))/(2 - akar(3)) = (2 - akar(3))/(4 - 3) = 2 - akar(3)
... 
Suku terakhir: 1/(akar(48) + akar(49)) = 1/(akar(48) + 7) * (7 - akar(48))/(7 - akar(48)) = (7 - akar(48))/(49 - 48) = 7 - akar(48)

Jika kita perhatikan polanya, setelah dirasionalkan, suku-suku tersebut menjadi:
(akar(2) - 1) + (akar(3) - akar(2)) + (akar(4) - akar(3)) + ... + (akar(49) - akar(48))
Ini adalah deret teleskopik, di mana suku negatif dari satu suku akan saling menghilangkan dengan suku positif dari suku berikutnya.
Jadi, yang tersisa adalah suku pertama dari suku terakhir dikurangi suku pertama dari suku pertama:
-1 + akar(49) = -1 + 7 = 6.

Mari kita periksa kembali rasionalisasi:
1/(akar(n) + akar(n+1)) = (akar(n+1) - akar(n)) / ((n+1) - n) = akar(n+1) - akar(n)

Maka, deretnya menjadi:
(akar(2) - akar(1)) + (akar(3) - akar(2)) + (akar(4) - akar(3)) + ... + (akar(49) - akar(48))
= -akar(1) + akar(49)
= -1 + 7
= 6

Jadi, nilai dari penjumlahan deret tersebut adalah 6.