Hitunglah nilai dari: limit x mendekati tak hingg

Nilai limit adalah 1.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari limit \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\cot(\frac{1}{x})}\), kita bisa menggunakan substitusi atau aturan L'Hôpital.

Metode 1: Menggunakan substitusi.
Misalkan \(y = \frac{1}{x}\). Ketika \(x \to \infty\), maka \(y \to 0\). 
Persamaan limit menjadi:
\[\lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{y}}{\cot(y)}\]

Kita tahu bahwa \(\cot(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}\). Jadi:
\[\lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{y}}{\frac{\cos(y)}{\sin(y)}} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \cdot \frac{\sin(y)}{\cos(y)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y \cos(y)}\]

Kita bisa memisahkan limit ini menjadi:
\[\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} \cdot \lim_{y \to 0} \frac{1}{\cos(y)}\]

Kita tahu bahwa \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1\) dan \(\lim_{y \to 0} \cos(y) = \cos(0) = 1\).

Jadi, limitnya adalah: \(1 \cdot \frac{1}{1} = 1\).

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital.
Limit awal adalah \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\cot(\frac{1}{x})}\). Jika kita substitusikan \(x = \infty\), kita mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{\infty}{\infty}\) atau \(\frac{\infty}{0}\) yang tidak langsung bisa dipecahkan. Mari kita ubah bentuknya terlebih dahulu.

Kita bisa menulis \(\cot(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\tan(\frac{1}{x})}\).

Jadi, limitnya menjadi:
\[\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\frac{1}{\tan(\frac{1}{x})}} = \lim_{x \to \infty} x \tan(\frac{1}{x})\]

Sekarang, jika kita substitusikan \(x = \infty\), kita mendapatkan bentuk \(\infty \cdot 0\), yang juga merupakan bentuk tak tentu.

Kita ubah lagi menjadi bentuk \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\) agar bisa menggunakan Aturan L'Hôpital. Mari kita tulis ulang sebagai:
\[\lim_{x \to \infty} \frac{\tan(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\]

Sekarang, jika \(x \to \infty\), maka \(\frac{1}{x} \to 0\) dan \(\tan(\frac{1}{x}) \to \tan(0) = 0\). Jadi kita memiliki bentuk \(\frac{0}{0}\).

Kita bisa menerapkan Aturan L'Hôpital. Turunan dari pembilang \(\tan(\frac{1}{x})\) adalah \(\sec^2(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})\).
Turunan dari penyebut \(\frac{1}{x}\) adalah \(-\frac{1}{x^2}\).

Jadi, limitnya menjadi:
\[\lim_{x \to \infty} \frac{\sec^2(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}}\]

Kita bisa membatalkan \(-\frac{1}{x^2}\) dari pembilang dan penyebut:
\[\lim_{x \to \infty} \sec^2(\frac{1}{x})\]

Ketika \(x \to \infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\). Maka:
\[\sec^2(0) = (\frac{1}{\cos(0)})^2 = (\frac{1}{1})^2 = 1\).

Kedua metode memberikan hasil yang sama.