Hitunglah nilai limit berikut! lim n-> tak hingga

Nilai limit dari lim n-> tak hingga ((n+2)/(n+1))^(2n) adalah e^2.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit lim n-> tak hingga ((n+2)/(n+1))^(2n), kita dapat menggunakan bentuk umum limit (1 + 1/m)^m = e saat m mendekati tak hingga. Pertama, kita ubah bentuk soal agar sesuai dengan bentuk umum tersebut:

lim n-> tak hingga ((n+2)/(n+1))^(2n)
= lim n-> tak hingga ((n+1+1)/(n+1))^(2n)
= lim n-> tak hingga (1 + 1/(n+1))^(2n)

Sekarang, kita ingin bentuk pangkatnya menjadi (n+1). Kita bisa menuliskannya sebagai:

= lim n-> tak hingga (1 + 1/(n+1))^(n+1) * (2n)/(n+1)

Kita tahu bahwa lim m-> tak hingga (1 + 1/m)^m = e. Jadi, bagian pertama dari limit adalah e.

Sekarang kita hitung limit dari pangkatnya: lim n-> tak hingga (2n)/(n+1).
Untuk menghitung limit ini, kita bagi pembilang dan penyebut dengan n:

lim n-> tak hingga (2n/n) / ((n+1)/n)
= lim n-> tak hingga 2 / (1 + 1/n)
= 2 / (1 + 0)
= 2

Maka, nilai limit keseluruhan adalah e^2.

Jawaban Ringkas: Nilai limitnya adalah e^2.