Hitunglah nilai limit berikut: lim x->0 ((3sin x-sin

Nilai limitnya adalah 4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\lim_{x 	o 0} \frac{3\sin x - \sin 3x}{x^3}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena ketika $x \to 0$, bentuknya adalah $\frac{0}{0}$. Kita akan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap $x$.

Turunan pertama:
Pembilang: $d/dx (3\sin x - \sin 3x) = 3\cos x - 3\cos 3x$

Penyebut: $d/dx (x^3) = 3x^2$

Jadi, limitnya menjadi $\lim_{x 	o 0} \frac{3\cos x - 3\cos 3x}{3x^2}$. Bentuknya masih $\frac{0}{0}$, jadi kita terapkan L'Hôpital lagi.

Turunan kedua:
Pembilang: $d/dx (3\cos x - 3\cos 3x) = -3\sin x - 3(-\sin 3x)(3) = -3\sin x + 9\sin 3x$

Penyebut: $d/dx (3x^2) = 6x$

Jadi, limitnya menjadi $\lim_{x 	o 0} \frac{-3\sin x + 9\sin 3x}{6x}$. Bentuknya masih $\frac{0}{0}$, jadi kita terapkan L'Hôpital untuk ketiga kalinya.

Turunan ketiga:
Pembilang: $d/dx (-3\sin x + 9\sin 3x) = -3\cos x + 9(\cos 3x)(3) = -3\cos x + 27\cos 3x$

Penyebut: $d/dx (6x) = 6$

Jadi, limitnya menjadi $\lim_{x 	o 0} \frac{-3\cos x + 27\cos 3x}{6}$.

Sekarang, substitusikan $x = 0$ ke dalam ekspresi:

$\frac{-3\cos 0 + 27\cos (3 \times 0)}{6} = \frac{-3(1) + 27(1)}{6} = \frac{-3 + 27}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Jadi, nilai limitnya adalah 4.