Hitunglah nilai limit berikut. lim x->0 (cos 3x+cos x)/x^2

Nilai limitnya adalah tak hingga (+∞).

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit lim x->0 (cos 3x + cos x) / x^2, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (cos(0)+cos(0))/0^2 = (1+1)/0 = 2/0, yang sebenarnya bukan 0/0 melainkan tak hingga jika dilihat dari penyebutnya mendekati nol dari sisi positif. Mari kita cek kembali.

Substitusi x=0:
cos(3*0) = cos(0) = 1
cos(0) = 1

Jadi, pembilangnya adalah 1 + 1 = 2.
Penyebutnya adalah 0^2 = 0.

Bentuk limitnya adalah 2/0, yang mengindikasikan bahwa limitnya adalah tak hingga (∞) atau minus tak hingga (-∞), tergantung dari sisi mana x mendekati 0.

Karena x^2 selalu positif ketika x mendekati 0 dari kedua sisi (positif dan negatif), maka penyebut selalu bernilai positif.

Oleh karena itu, limitnya adalah positif tak hingga.

lim x->0 (cos 3x + cos x) / x^2 = +∞

Jika soal tersebut seharusnya menghasilkan bentuk 0/0, mungkin ada kesalahan dalam penulisan soalnya. Misalnya jika soalnya adalah limit x->0 (cos 3x - cos x) / x^2, maka:
lim x->0 (cos 3x - cos x) / x^2 = 0/0 (bentuk tak tentu)
Gunakan aturan L'Hopital:
Turunan pembilang: -3 sin(3x) + sin(x)
Turunan penyebut: 2x

lim x->0 (-3 sin(3x) + sin(x)) / 2x = 0/0 (bentuk tak tentu)

Turunan kedua pembilang: -9 cos(3x) + cos(x)
Turunan kedua penyebut: 2

lim x->0 (-9 cos(3x) + cos(x)) / 2 = (-9 cos(0) + cos(0)) / 2 = (-9*1 + 1) / 2 = -8 / 2 = -4

Namun, berdasarkan soal yang diberikan: lim x->0 (cos 3x + cos x) / x^2, jawabannya adalah tak hingga.