Hitunglah nilai limit berikut. lim x->0 (sec 9x-sec

-2

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\\lim_{x \to 0} \frac{\\sec(9x) - \\sec(7x)}{\\sec(5x) - \\sec(3x)}$, kita bisa menggunakan substitusi $y = \\cos x$. Ingat bahwa $\\sec x = \\frac{1}{\\cos x}$.

Persamaan limit menjadi:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\\frac{1}{\\cos(9x)} - \\frac{1}{\\cos(7x)}}{\\frac{1}{\\cos(5x)} - \\frac{1}{\\cos(3x)}}$

Samakan penyebut di pembilang dan penyebut:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\\frac{\\cos(7x) - \\cos(9x)}{\\cos(9x)\\cos(7x)}}{\\frac{\\cos(3x) - \\cos(5x)}{\\cos(5x)\\cos(3x)}}$

Susun ulang persamaan:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\\cos(7x) - \\cos(9x)}{\\cos(5x) - \\cos(3x)} \times \\frac{\\cos(5x)\\cos(3x)}{\\cos(9x)\\cos(7x)}}$

Kita bisa evaluasi limit bagian kedua secara terpisah karena $\\cos(0) = 1$:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\\cos(5x)\\cos(3x)}{\\cos(9x)\\cos(7x)} = \frac{\\cos(0)\\cos(0)}{\\cos(0)\\cos(0)} = \frac{1 \times 1}{1 \times 1} = 1$

Sekarang fokus pada bagian pertama:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\\cos(7x) - \\cos(9x)}{\\cos(5x) - \\cos(3x)}$

Gunakan identitas trigonometri $\\cos A - \\cos B = -2 \\sin \\frac{A+B}{2} \\sin \\frac{A-B}{2}$.

Pembilang: $\\cos(7x) - \\cos(9x) = -2 \\sin \\frac{7x+9x}{2} \\sin \\frac{7x-9x}{2} = -2 \\sin(8x) \\sin(-x) = 2 \\sin(8x)\\sin(x)$

Penyebut: $\\cos(5x) - \\cos(3x) = -2 \\sin \\frac{5x+3x}{2} \\sin \\frac{5x-3x}{2} = -2 \\sin(4x) \\sin(x)$

Jadi, limitnya menjadi:
$\\lim_{x \to 0} \frac{2 \\sin(8x)\\sin(x)}{-2 \\sin(4x)\\sin(x)}$

Batalkan $\\sin(x)$ (karena $x \to 0$ tapi $x \neq 0$) dan angka 2:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\\sin(8x)}{-\\sin(4x)}$

Gunakan identitas $\\lim_{u \to 0} \frac{\\sin(au)}{bu} = \\frac{a}{b}$ atau $\\lim_{u \to 0} \frac{\\sin(au)}{\\sin(bu)} = \\frac{a}{b}$.
Kita bisa menulis ulang sebagai:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\\sin(8x)}{1} \times \\frac{1}{-\\sin(4x)}$
$\\lim_{x \to 0} \frac{8x}{1} \times \\frac{1}{-4x}$ (menggunakan $\\sin(u) \approx u$ untuk $u \to 0$)
$\\lim_{x \to 0} \frac{8x}{-4x}$
$\\lim_{x \to 0} -2 = -2$

Jadi, nilai limit dari keseluruhan ekspresi adalah $-2 \times 1 = -2$.