Hitunglah nilai limit berikut. lim x->0 (x^3+x^2)/(tan^2

1/4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit lim x->0 (x^3+x^2)/(tan^2 2x), kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan memanfatkan identitas trigonometri dan sifat-sifat limit.

Kita tahu bahwa untuk nilai x yang mendekati 0, tan(kx) mendekati kx. Dengan demikian, tan^2(2x) mendekati (2x)^2 = 4x^2.

Limit = lim x->0 (x^3+x^2)/(tan^2 2x)
Kita bisa memfaktorkan x^2 dari pembilang:
Limit = lim x->0 x^2(x+1)/(tan^2 2x)

Sekarang kita pisahkan menjadi bentuk yang dikenali:
Limit = lim x->0 (x^2 / tan^2 2x) * (x+1)

Kita tahu bahwa lim x->0 (tan(kx) / kx) = 1. Maka, lim x->0 (kx / tan(kx)) = 1.

Untuk (x^2 / tan^2 2x), kita bisa menulisnya sebagai (x / tan 2x)^2. Agar sesuai dengan bentuk lim x->0 (tan(kx) / kx), kita perlu mengalikan dan membagi dengan konstanta yang sesuai.

(x / tan 2x)^2 = ( (1/2) * (2x) / tan 2x )^2
= (1/2)^2 * ( (2x) / tan 2x )^2
= 1/4 * ( (2x) / tan 2x )^2

Maka, lim x->0 (x^2 / tan^2 2x) = lim x->0 [1/4 * ( (2x) / tan 2x )^2]
= 1/4 * [lim x->0 (2x / tan 2x)]^2
= 1/4 * (1)^2
= 1/4

Sekarang kita kembali ke limit awal:
Limit = lim x->0 (x^2 / tan^2 2x) * (x+1)
Limit = (1/4) * lim x->0 (x+1)
Limit = (1/4) * (0+1)
Limit = 1/4 * 1
Limit = 1/4

Jadi, nilai limitnya adalah 1/4.