Hitunglah nilai limit berikut. lim x->0 (x+tan x)/4x

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit lim x->0 (x + tan x) / 4x, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, aturan L'Hôpital, atau ekspansi deret Taylor.

**Metode 1: Substitusi Langsung dan Manipulasi Aljabar**

Ketika kita substitusi x = 0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
lim x->0 (x + tan x) / 4x
Kita bisa memisahkan limit tersebut menjadi dua bagian:
= lim x->0 (x / 4x) + lim x->0 (tan x / 4x)

Untuk bagian pertama:
lim x->0 (x / 4x) = lim x->0 (1 / 4) = 1/4

Untuk bagian kedua, kita gunakan sifat limit lim x->0 (tan x / x) = 1:
lim x->0 (tan x / 4x) = (1/4) * lim x->0 (tan x / x) = (1/4) * 1 = 1/4

Jadi, hasil totalnya adalah:
= 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2.

**Metode 2: Aturan L'Hôpital**

Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menerapkan aturan L'Hôpital, yaitu menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:

d/dx (x + tan x) = 1 + sec^2(x)
d/dx (4x) = 4

Maka, limitnya menjadi:
lim x->0 (1 + sec^2(x)) / 4

Substitusi x = 0:
= (1 + sec^2(0)) / 4
= (1 + 1^2) / 4
= (1 + 1) / 4
= 2 / 4
= 1/2.

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.