Hitunglah nilai limit fungsi berikut. lim x->tak hingga

Nilai limitnya adalah -2.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit fungsi berikut: lim x→∞ (√(x^2+1) - √(x^2+4x-2)), kita dapat mengalikan dengan bentuk sekawannya untuk menghilangkan bentuk tak tentu.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

lim x→∞ (√(x^2+1) - √(x^2+4x-2))
= lim x→∞ [(√(x^2+1) - √(x^2+4x-2)) * (√(x^2+1) + √(x^2+4x-2)) / (√(x^2+1) + √(x^2+4x-2))]
= lim x→∞ [(x^2+1) - (x^2+4x-2)] / (√(x^2+1) + √(x^2+4x-2))
= lim x→∞ [x^2+1 - x^2-4x+2] / (√(x^2+1) + √(x^2+4x-2))
= lim x→∞ [-4x+3] / (√(x^2+1) + √(x^2+4x-2))

Selanjutnya, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (karena √(x^2) = x untuk x positif).

= lim x→∞ [-4x/x + 3/x] / (√(x^2/x^2 + 1/x^2) + √(x^2/x^2 + 4x/x^2 - 2/x^2))
= lim x→∞ [-4 + 3/x] / (√(1 + 1/x^2) + √(1 + 4/x - 2/x^2))

Saat x mendekati tak hingga (∞), suku-suku yang memiliki x di penyebut akan mendekati 0 (misalnya, 3/x → 0, 1/x^2 → 0, 4/x → 0, 2/x^2 → 0).

= [-4 + 0] / (√(1 + 0) + √(1 + 0 - 0))
= -4 / (√1 + √1)
= -4 / (1 + 1)
= -4 / 2
= -2

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah -2.