Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut: lim x->3

Nilai limitnya adalah -1.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri berikut: lim x->3 ((3-x) tan(2x-6))/(1-cos 2(x-3)), kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Misalkan y = x - 3. Ketika x mendekati 3, maka y mendekati 0.
Dari y = x - 3, kita dapatkan x = y + 3.

Substitusikan x = y + 3 ke dalam fungsi:
3 - x = 3 - (y + 3) = 3 - y - 3 = -y
2x - 6 = 2(y + 3) - 6 = 2y + 6 - 6 = 2y
2(x - 3) = 2y

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
lim y->0 ((-y) tan(2y)) / (1 - cos(2y))

Kita tahu bahwa tan(θ) = sin(θ)/cos(θ), jadi:
lim y->0 ((-y) * (sin(2y)/cos(2y))) / (1 - cos(2y))

Kita juga tahu identitas trigonometri 1 - cos(2θ) = 2sin²(θ).
Menerapkan ini pada penyebut, dengan θ = y:
1 - cos(2y) = 2sin²(y)

Sehingga limit menjadi:
lim y->0 ((-y) * sin(2y)) / (cos(2y) * 2sin²(y))

Kita bisa pisahkan limit menjadi beberapa bagian yang kita kenal:
lim y->0 (-y) * lim y->0 (sin(2y)) * lim y->0 (1/cos(2y)) * lim y->0 (1 / (2sin²(y)))

Kita tahu bahwa:
lim θ->0 sin(θ)/θ = 1
lim θ->0 sin(kθ)/θ = k
lim θ->0 sin(kθ)/(kθ) = 1

Mari kita atur ulang ekspresi:
lim y->0 (-y * sin(2y)) / (cos(2y) * 2sin²(y))

Kita bisa tulis sin(2y) = 2sin(y)cos(y).
lim y->0 (-y * 2sin(y)cos(y)) / (cos(2y) * 2sin²(y))

Batalkan 2sin(y) di pembilang dan penyebut:
lim y->0 (-y * cos(y)) / (cos(2y) * sin(y))

Sekarang, kita gunakan lagi sin(y)/y = 1 atau y/sin(y) = 1.
Kita bisa tulis ulang sebagai:
lim y->0 (-1) * (y/sin(y)) * cos(y) * (1/cos(2y))

Sekarang kita evaluasi setiap bagian saat y mendekati 0:
lim y->0 (-1) = -1
lim y->0 (y/sin(y)) = 1
lim y->0 cos(y) = cos(0) = 1
lim y->0 (1/cos(2y)) = 1/cos(0) = 1/1 = 1

Menggabungkan semua:
(-1) * 1 * 1 * 1 = -1

Jadi, nilai limitnya adalah -1.

Cara lain menggunakan L'Hopital's Rule karena bentuknya 0/0:
lim x->3 ((3-x) tan(2x-6))/(1-cos 2(x-3))

Turunan pembilang: d/dx [(3-x) tan(2x-6)]
= (-1)tan(2x-6) + (3-x) * sec²(2x-6) * 2
= -tan(2x-6) + 2(3-x)sec²(2x-6)

Turunan penyebut: d/dx [1 - cos(2x-6)]
= -(-sin(2x-6)) * 2
= 2sin(2x-6)

Sekarang evaluasi limit dari turunan:
lim x->3 [-tan(2x-6) + 2(3-x)sec²(2x-6)] / [2sin(2x-6)]

Saat x mendekati 3, tan(2x-6) mendekati tan(0)=0, sin(2x-6) mendekati sin(0)=0, 3-x mendekati 0.
Jadi bentuknya masih 0/0. Kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang baru:
d/dx [-tan(2x-6) + 2(3-x)sec²(2x-6)]
= -sec²(2x-6)*2 + [(-2)sec²(2x-6) + 2(3-x)*2sec(2x-6)*sec(2x-6)(-sin(2x-6))*2]
= -2sec²(2x-6) - 2sec²(2x-6) + 8(3-x)sec²(2x-6)sin(2x-6)
= -4sec²(2x-6) + 8(3-x)sec²(2x-6)sin(2x-6)

Turunan penyebut baru:
d/dx [2sin(2x-6)]
= 2cos(2x-6)*2
= 4cos(2x-6)

Evaluasi limit dari turunan kedua:
lim x->3 [-4sec²(2x-6) + 8(3-x)sec²(2x-6)sin(2x-6)] / [4cos(2x-6)]

Saat x mendekati 3:
sec(2x-6) mendekati sec(0) = 1
sin(2x-6) mendekati sin(0) = 0
cos(2x-6) mendekati cos(0) = 1
3-x mendekati 0

Limit menjadi:
[-4(1)² + 8(0)(1)²(0)] / [4(1)]
= [-4 + 0] / 4
= -4 / 4
= -1

Kedua metode memberikan hasil yang sama.