Diberikan kubus ABCD.EFGH. Jika alpha adalah sudut antara

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3}$

Pembahasan

Untuk menentukan nilai $\sin \alpha + \cos \alpha$, kita perlu mencari nilai $\sin \alpha$ dan $\cos \alpha$ terlebih dahulu.

Kubus ABCD.EFGH memiliki bidang alas ABCD dan bidang diagonal ACF.
Sudut antara bidang ACF dan bidang ABCD adalah sudut antara garis AC pada bidang ABCD dan garis CF pada bidang ACF, yang tegak lurus dengan AC di titik C. Jadi, sudut yang dicari adalah sudut $\angle FCA = \alpha$.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah $s$. Maka:
- Panjang diagonal AC = $s\sqrt{2}$
- Panjang rusuk CG = $s$
- Panjang diagonal AF = $s\sqrt{3}$

Pada segitiga siku-siku ACG:
$\cos(\angle CAG) = \frac{AC}{AG} = \frac{s\sqrt{2}}{s\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$
$\sin(\angle CAG) = \frac{CG}{AG} = \frac{s}{s\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$

Pada segitiga siku-siku CGF:
$\tan(\angle GFC) = \frac{CG}{GF} = \frac{s}{s} = 1$. Maka $\angle GFC = 45^\circ$.

Kita perlu mencari sudut $\alpha$ antara bidang ACF dan bidang ABCD. Sudut ini dibentuk oleh garis AC (perpotongan kedua bidang) dan garis CF yang tegak lurus terhadap AC pada bidang ACF, serta garis AC pada bidang ABCD. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan proyeksi.

Proyeksikan titik F ke bidang ABCD. Titik proyeksinya adalah titik C.
Sudut $\alpha$ adalah sudut antara garis AF dan AC.

Pada segitiga siku-siku ACG (sudut di C = 90 derajat):
$AC = s\sqrt{2}$
$CG = s$
$AG = s\sqrt{3}$

$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AG} = \frac{s\sqrt{2}}{s\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$
$\sin(\alpha) = \frac{CG}{AG} = \frac{s}{s\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$

Maka, $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Dirasionalkan:
$\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3}$

Jadi, $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3}$