Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi di bawah ini selalu turun

Turunan pertama f'(x) = -11/(x-2)^2, yang selalu negatif untuk x ≠ 2, sehingga fungsi selalu turun.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa fungsi f(x) = (4x+3)/(x-2) selalu turun untuk setiap bilangan real x, kita perlu memeriksa turunan pertamanya, f'(x).

Turunan dari f(x) dapat dihitung menggunakan aturan kuosien: Jika f(x) = u(x)/v(x), maka f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / [v(x)]^2.

Dalam kasus ini, u(x) = 4x+3 dan v(x) = x-2.
Maka, u'(x) = 4 dan v'(x) = 1.

Substitusikan ke dalam rumus turunan kuosien:

f'(x) = [4(x-2) - (4x+3)(1)] / (x-2)^2
f'(x) = [4x - 8 - 4x - 3] / (x-2)^2
f'(x) = -11 / (x-2)^2

Sebuah fungsi dikatakan selalu turun jika turunan pertamanya, f'(x), selalu negatif untuk setiap nilai x di domainnya.

Dalam kasus f'(x) = -11 / (x-2)^2:
- Pembilangnya adalah -11, yang merupakan bilangan negatif.
- Penyebutnya adalah (x-2)^2. Kuadrat dari bilangan real apapun (selain nol) selalu positif. Perlu dicatat bahwa x tidak boleh sama dengan 2, karena akan menyebabkan pembagian dengan nol.

Karena pembilangnya negatif dan penyebutnya positif, maka f'(x) akan selalu negatif untuk setiap nilai x di mana fungsi terdefinisi (yaitu, x ≠ 2).

Oleh karena itu, fungsi f(x) = (4x+3)/(x-2) selalu turun untuk setiap bilangan real x (kecuali x=2, di mana fungsi tidak terdefinisi).