Diketahui sin 37=3/5, carilah nilai dari: (2 sin^-1 (3/5)

1

Pembahasan

Diketahui sin 37 = 3/5.
Dari nilai sin 37 = 3/5, kita dapat menentukan nilai cos 37 menggunakan identitas trigonometri sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1.
cos^2(37) = 1 - sin^2(37)
cos^2(37) = 1 - (3/5)^2
cos^2(37) = 1 - 9/25
cos^2(37) = 16/25
cos(37) = 4/5 (karena 37 derajat berada di kuadran I, cos positif).

Selanjutnya, kita perlu mencari nilai dari ekspresi:
(2 sin^-1 (3/5) - sec^-1 (4/5)) / (cos^-1(4/5))

Kita tahu bahwa jika sin(θ) = 3/5, maka θ = sin^-1(3/5). Berdasarkan nilai sin 37 = 3/5, maka sin^-1(3/5) = 37 derajat.

Kita juga tahu bahwa jika cos(θ) = 4/5, maka θ = cos^-1(4/5). Berdasarkan nilai cos 37 = 4/5, maka cos^-1(4/5) = 37 derajat.

Selain itu, sec(θ) = 1/cos(θ). Jadi, sec^-1(4/5) berarti nilai sudut di mana secan-nya adalah 4/5. Ini berarti cos-nya adalah 5/4, yang tidak mungkin karena nilai cosinus berada di antara -1 dan 1.

Namun, jika yang dimaksud adalah sec^-1(5/4), maka nilai sudutnya adalah 37 derajat, karena sec(37) = 1/cos(37) = 1/(4/5) = 5/4.
Dengan asumsi bahwa soal seharusnya sec^-1(5/4):

Nilai dari sin^-1(3/5) adalah sudut yang sinusnya 3/5. Misalkan sudut ini adalah α.
Nilai dari cos^-1(4/5) adalah sudut yang cosinusnya 4/5. Misalkan sudut ini adalah β.
Karena sin(37°) = 3/5 dan cos(37°) = 4/5, maka α = 37° dan β = 37°.

Nilai dari sec^-1(4/5) adalah sudut yang secan-nya 4/5. sec(θ) = 1/cos(θ). Jadi, kita mencari θ sedemikian rupa sehingga 1/cos(θ) = 4/5, yang berarti cos(θ) = 5/4. Nilai ini tidak mungkin karena nilai cosinus hanya berkisar antara -1 dan 1.

Jika soal yang dimaksud adalah sin 37 = 3/5 dan cos 37 = 4/5, dan kita diminta mencari nilai dari (2 sin^-1 (3/5) - cos^-1(3/5)) / (sin^-1(4/5)), maka jawabannya akan berbeda.

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan yang dimaksud adalah nilai dari ekspresi yang melibatkan sudut 37 derajat:
Misalkan θ = 37 derajat. Maka sin(θ) = 3/5 dan cos(θ) = 4/5.
Dari sini, sin^-1(3/5) = θ dan cos^-1(4/5) = θ.
Untuk sec^-1(4/5), jika maksudnya adalah sudut di mana secan-nya adalah 1/(4/5) = 5/4, maka sudut tersebut juga θ.

Maka ekspresi menjadi: (2θ - θ) / θ = θ / θ = 1.

Jika kita menginterpretasikan sec^-1(4/5) sebagai nilai invers dari secan, di mana sec(x) = 4/5, maka cos(x) = 5/4, yang tidak mungkin.

Namun, jika kita menganggap bahwa sin 37 = 3/5 menyiratkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan sisi depan 3, miring 5, dan sisi samping 4 (menggunakan teorema Pythagoras: 3^2 + sisi_samping^2 = 5^2 => 9 + sisi_samping^2 = 25 => sisi_samping^2 = 16 => sisi_samping = 4).

Maka:
sin^-1(3/5) = sudut yang berhadapan dengan sisi 3.
cos^-1(4/5) = sudut yang berdekatan dengan sisi 4.
sec^-1(4/5) = sudut yang secannya 4/5. sec(α) = miring/samping. Jadi, miring/samping = 4/5. Jika sisi miring adalah 4 dan sisi samping adalah 5, ini tidak mungkin karena sisi miring harus lebih panjang dari sisi samping.

Asumsi lain: Mungkin yang dimaksud adalah nilai sudutnya bukan 37 derajat secara eksplisit, tetapi hubungan trigonometrinya.
Misalkan α = sin^-1(3/5). Maka sin(α) = 3/5. Dari sini kita dapatkan cos(α) = 4/5.
Misalkan β = cos^-1(4/5). Maka cos(β) = 4/5. Dari sini kita dapatkan sin(β) = 3/5.
Jadi, α = β.

Sekarang perhatikan sec^-1(4/5). sec(γ) = 4/5. Maka 1/cos(γ) = 4/5, yang berarti cos(γ) = 5/4. Ini tidak mungkin.

Jika soalnya adalah: Diketahui sin θ = 3/5, carilah nilai dari: (2 sin^-1 (3/5) - cos^-1(4/5)) / (cos^-1(4/5))
Karena sin θ = 3/5, maka cos θ = 4/5. Ini berarti sin^-1(3/5) = θ dan cos^-1(4/5) = θ.
Maka ekspresinya menjadi: (2θ - θ) / θ = θ / θ = 1.

Jika soalnya adalah: Diketahui sin 37 = 3/5, carilah nilai dari: (2 sin^-1 (3/5) - sec^-1 (5/4)) / (cos^-1(4/5))
Karena sin 37 = 3/5, maka cos 37 = 4/5. sec 37 = 1/cos 37 = 5/4.
Maka sin^-1(3/5) = 37 derajat.
cos^-1(4/5) = 37 derajat.
sec^-1(5/4) = 37 derajat.
Ekspresinya menjadi: (2 * 37 - 37) / 37 = (74 - 37) / 37 = 37 / 37 = 1.

Kesimpulan: Terdapat kemungkinan kesalahan pada soal, khususnya pada bagian sec^-1(4/5). Jika diasumsikan bahwa semua argumen fungsi invers trigonometri mengacu pada sudut yang sama (37 derajat) yang konsisten dengan sin 37 = 3/5 dan cos 37 = 4/5, maka sec^-1(4/5) seharusnya adalah sec^-1(5/4) atau nilai lain yang konsisten. Dengan asumsi yang paling masuk akal bahwa semua fungsi invers merujuk pada sudut 37 derajat (karena sin 37 = 3/5 dan cos 37 = 4/5), maka nilai ekspresi tersebut adalah 1.