Hitunglah nilai limit : lim x -> 0 (tan x-x)/(sin x+x)=...

0

Pembahasan

Untuk menghitung limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung x=0 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

lim x -> 0 (tan x - x) / (sin x + x)

Kita turunkan pembilang dan penyebutnya:
Turunan pembilang (tan x - x) adalah sec^2(x) - 1.
Turunan penyebut (sin x + x) adalah cos x + 1.

Jadi, limitnya menjadi:
lim x -> 0 (sec^2(x) - 1) / (cos x + 1)

Kita tahu bahwa sec^2(x) = 1/cos^2(x).
Jadi, pembilangnya menjadi (1/cos^2(x)) - 1 = (1 - cos^2(x)) / cos^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x) = tan^2(x).

Limitnya sekarang adalah:
lim x -> 0 tan^2(x) / (cos x + 1)

Substitusikan x = 0:
tan^2(0) / (cos(0) + 1)
0^2 / (1 + 1)
0 / 2 = 0

Alternatif menggunakan identitas trigonometri dan limit standar:
Kita tahu bahwa lim x->0 (tan x)/x = 1 dan lim x->0 (sin x)/x = 1.
Kita juga bisa menggunakan aturan L'Hopital berulang kali.

Langkah 1 (Aturan L'Hopital pertama): 
lim x -> 0 (sec^2(x) - 1) / (cos x + 1)
Substitusi x = 0: (sec^2(0) - 1) / (cos 0 + 1) = (1^2 - 1) / (1 + 1) = 0/2 = 0.

Jadi, nilai limitnya adalah 0.