Hitunglah nilai n dan r untuk bentuk berikut. n P r=n P r+1

n=3, r=2

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan terkait permutasi (P) dan kombinasi (C):
1. n P r = n P r+1
2. n C r = n C r-1

Kita akan menyelesaikan kedua persamaan ini untuk mencari nilai n dan r.

Persamaan 1: n P r = n P r+1
Rumus permutasi adalah n P k = n! / (n-k)!
Jadi, n! / (n-r)! = n! / (n-(r+1))!
Karena n! ada di kedua sisi, kita bisa membaginya (dengan asumsi n! tidak nol).
1 / (n-r)! = 1 / (n-r-1)!
Ini berarti (n-r)! = (n-r-1)!
Agar persamaan ini benar, maka (n-r) harus sama dengan 1, karena k! = k * (k-1)!
Jadi, n - r = 1
Atau n = r + 1

Persamaan 2: n C r = n C r-1
Rumus kombinasi adalah n C k = n! / (k! * (n-k)!)
Jadi, n! / (r! * (n-r)!) = n! / ((r-1)! * (n-(r-1))!)
n! / (r! * (n-r)!) = n! / ((r-1)! * (n-r+1)!)
Kita bisa membatalkan n! dari kedua sisi.
1 / (r! * (n-r)!) = 1 / ((r-1)! * (n-r+1)!)
Kalikan kedua sisi dengan r! * (n-r+1)!
r! * (n-r+1)! / (r! * (n-r)!) = 1
(r * (r-1)!) * (n-r+1) * (n-r)! / ((r-1)! * (n-r)!) = 1
Kita bisa membatalkan (r-1)! dan (n-r)!
(r) * (n-r+1) = 1

Sekarang kita substitusikan hasil dari Persamaan 1 (n = r + 1) ke dalam hasil Persamaan 2:
r * ((r+1) - r + 1) = 1
r * (1 + 1) = 1
r * 2 = 1
r = 1/2

Namun, nilai r dalam permutasi dan kombinasi haruslah bilangan bulat non-negatif. Jika kita meninjau kembali Persamaan 1, yaitu n P r = n P r+1, ini hanya mungkin terjadi jika r+1 > n, yang secara definisi permutasi tidak diperbolehkan (k <= n). Jika kita mengasumsikan ada kesalahan penulisan pada soal, dan jika memang soalnya adalah n P r = n+1 P r, atau variasi lain, jawabannya akan berbeda.

Mari kita cek kembali asumsi pada Persamaan 1. Jika n P r = n P r+1, dan kita tahu bahwa n P k = n P (n-k) jika kita menukar posisi r dan n-r, namun ini tidak relevan di sini. Satu-satunya cara n P r = n P r+1 adalah jika n-r = n-r-1 (yang tidak mungkin) atau jika salah satu ekspresi tidak terdefinisi.

Jika kita kembali ke persamaan 1 / (n-r)! = 1 / (n-r-1)!, ini menyiratkan (n-r)! = (n-r-1)!. Ini hanya bisa terjadi jika n-r = 1 (karena k! = k*(k-1)!, maka 1! = 1*0!, yang berarti 1=1, atau jika n-r = 0, namun 0! = 1 dan (-1)! tidak terdefinisi).
Jadi, dari n-r = 1, kita dapatkan n = r + 1.

Sekarang kita kembali ke Persamaan 2: n C r = n C r-1.
Menggunakan identitas n C k = n C (n-k), kita bisa menulis n C r = n C (n-r) dan n C r-1 = n C (n-(r-1)) = n C (n-r+1).
Persamaan n C r = n C r-1 menyiratkan bahwa r = r-1 (tidak mungkin) atau r = n - (r-1) (jika kita mengabaikan kasus r=0 atau r-1=0 yang perlu pengecekan terpisah).
Jika r = n - r + 1
2r = n + 1
Substitusikan n = r + 1 dari persamaan pertama:
2r = (r + 1) + 1
2r = r + 2
r = 2

Jika r = 2, maka n = r + 1 = 2 + 1 = 3.

Mari kita cek dengan nilai n=3 dan r=2:
n P r = 3 P 2 = 3! / (3-2)! = 3! / 1! = 6
n P r+1 = 3 P 3 = 3! / (3-3)! = 3! / 0! = 6
Jadi, 3 P 2 = 3 P 3 benar.

n C r = 3 C 2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3! / (2! * 1!) = 3
n C r-1 = 3 C 1 = 3! / (1! * (3-1)!) = 3! / (1! * 2!) = 3
Jadi, 3 C 2 = 3 C 1 benar.

Oleh karena itu, nilai n = 3 dan r = 2.

Jawaban:
n = 3 dan r = 2