Hitunglah nilai n yang memenuhi: ((n + 2)!)/(n!) = 42

Nilai n yang memenuhi persamaan ((n + 2)!)/(n!) = 42 adalah 5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan nilai n yang memenuhi persamaan faktorial $((n + 2)!)/(n!) = 42$, kita perlu memahami definisi faktorial dan menyederhanakan persamaan tersebut.

Definisi faktorial adalah n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1.

Dengan menggunakan definisi ini, kita dapat menulis $(n + 2)!$ sebagai:
$(n + 2)! = (n + 2) * (n + 1) * n * (n-1) * ... * 1$
$(n + 2)! = (n + 2) * (n + 1) * n!$

Sekarang, substitusikan ini ke dalam persamaan awal:
$((n + 2) * (n + 1) * n!) / (n!) = 42$

Kita bisa membatalkan $n!$ di pembilang dan penyebut (dengan asumsi $n! \neq 0$, yang selalu benar untuk bilangan bulat non-negatif):
$(n + 2) * (n + 1) = 42$

Selanjutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat ini. Perluas sisi kiri:
$n^2 + n + 2n + 2 = 42$
$n^2 + 3n + 2 = 42$

Pindahkan 42 ke sisi kiri untuk membuat persamaan sama dengan nol:
$n^2 + 3n + 2 - 42 = 0$
$n^2 + 3n - 40 = 0$

Sekarang, faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -40 dan jika dijumlahkan menghasilkan 3. Bilangan tersebut adalah 8 dan -5.
$(n + 8) * (n - 5) = 0$

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi untuk n:
$n + 8 = 0 \Rightarrow n = -8$
$n - 5 = 0 \Rightarrow n = 5$

Karena definisi faktorial biasanya berlaku untuk bilangan bulat non-negatif ($n \ge 0$), maka nilai $n = -8$ tidak valid dalam konteks ini. Oleh karena itu, solusi yang valid adalah $n = 5$.

Untuk memverifikasi, jika $n = 5$, maka:
$((5 + 2)!)/(5!) = (7!)/(5!) = (7 * 6 * 5!) / (5!) = 7 * 6 = 42$.
Ini sesuai dengan persamaan yang diberikan.