Hitunglah nilai setiap limit berikut.a. lim x mendekati 0

a. 1, b. $\sqrt{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit-limit tersebut:

a. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$
Bentuk limit ini adalah $\frac{0}{0}$, jadi kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau mengalikan dengan sekawan.
Menggunakan aturan L'Hopital:
Turunan dari $\sqrt{1+x}$ adalah $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.
Turunan dari $\sqrt{1-x}$ adalah $-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.
Turunan dari $x$ adalah $1$.
Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - (-\frac{1}{2\sqrt{1-x}})}{1} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+0}} + \frac{1}{2\sqrt{1-0}}}{1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1} = 1$.

b. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}$
Bentuk limit ini juga $\frac{0}{0}$. Menggunakan aturan L'Hopital:
Turunan pembilang: $\frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
Turunan penyebut: $\frac{1}{2\sqrt{2+x}} - (-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} + \frac{1}{2\sqrt{2-x}}$
Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{\frac{1}{2\sqrt{2+x}} + \frac{1}{2\sqrt{2-x}}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+0}} + \frac{1}{2\sqrt{1-0}}}{\frac{1}{2\sqrt{2+0}} + \frac{1}{2\sqrt{2-0}}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}} = \frac{1}{\frac{2}{2\sqrt{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$.